例談不等式研究中的“不妨假定”

●衛(wèi)福山 (松江區(qū)第二中學(xué) 上海 201600)

在不等式研究與證明中，經(jīng)常會(huì)使用一些另外增加的“不妨假定”條件，這些附加的條件常?？梢越档徒忸}的難度.下面通過(guò)一些具體實(shí)例談?wù)劜坏仁窖芯恐袔追N常見(jiàn)的“不妨假定”.

1 多元對(duì)稱不等式中有序的假設(shè)

在多元(如三元a，b，c)對(duì)稱不等式的證明中，可考慮“不妨設(shè)”一個(gè)有序的假設(shè)，譬如a＜b＜c或a≥max{b，c}等等，這相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件，可降低證明的難度.

例1 設(shè) a，b，c均為正數(shù)，求證：a3+b3+c3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a).

(第9屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

分析以上不等式關(guān)于字母 a，b，c是對(duì)稱的，即將(a，b，c)換成(b，c，a)或(c，a，b)，原不等式不變，也即a，b，c的地位均等，因此不妨假設(shè)c=min{a，b，c}，為證明帶來(lái)便利.

證明不妨設(shè)c=min{a，b，c}＞0.由于

因此原不等式得證.

注以上不等式其實(shí)是Schur不等式的特例.Schur不等式如下：

若 x，y，z為非負(fù)實(shí)數(shù)，則對(duì)任意 r＞0，都有

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z或者x，y，z中有2個(gè)相等，第3個(gè)為0時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)r=1時(shí)，可以得到Schur不等式的特例，即

因此，例1即為Schur不等式的特例.

(第36屆IMO試題)

分析以上所證不等式具有對(duì)稱性，不妨假定a≤b≤c，運(yùn)用排序不等式加以證明.

由對(duì)稱性，不妨設(shè) a≤b≤c，則

2 和為定值的假設(shè)

在某些齊次對(duì)稱不等式中，若出現(xiàn)幾個(gè)字母的和的形式(如a+b+c，a+b，b+c，c+a)，假定字母的和為定值(如 a+b+c=k，則 a+b=k-c，b+c=k-a，c+a=k-b)，常會(huì)給變形帶來(lái)便利.

(第2屆友誼杯國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

證明設(shè) a+b+c=s，則

例4 設(shè) a，b，c∈R+，求證：

證明令 a+b+c=k，則

3 乘積為定值的假設(shè)

例6 設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：

分析不等式2邊關(guān)于字母a，b，c的次數(shù)均為2次，屬于奇次對(duì)稱不等式，不妨假定字母a，b，c的乘積為定值，如abc=1.

因此原不等式得證.

注本例也可以假設(shè)a+b+c=1來(lái)簡(jiǎn)化原不等式，具體如下：

由于a+b+c=1，因此

4 三角換元中角的取值范圍的假設(shè)

以上證明的難度在于運(yùn)用均值不等式前“湊”的技巧，這也是學(xué)生運(yùn)用均值不等式的最大難點(diǎn)，顯然運(yùn)用三角換元降低了對(duì)此技巧的要求.

［1］ 劉詩(shī)雄.奧數(shù)教程：高二年級(jí)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.