電力系統(tǒng)潮流分解協(xié)調(diào)并行計(jì)算①

朱永興，張步涵

(1.中國南方電網(wǎng)東莞供電局，東莞 523000;2.華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，武漢 430074)

隨著三峽電站的并網(wǎng)發(fā)電、西電東送工程的實(shí)施和全國聯(lián)網(wǎng)工程的推進(jìn)，我國將形成規(guī)模巨大的超高壓、大機(jī)組、大電網(wǎng)的全國性互聯(lián)電網(wǎng)[1]。為了保證互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行，迫切需要進(jìn)行全網(wǎng)一體化仿真計(jì)算。傳統(tǒng)的串行潮流計(jì)算方法在計(jì)算速度上已經(jīng)無法滿足大電網(wǎng)模擬和實(shí)時(shí)控制的仿真要求[2～5]，高性能PC計(jì)算機(jī)群以其巨大的存儲(chǔ)容量和很快的計(jì)算速度得到了人們的廣泛重視，已成為研究熱點(diǎn)。為此，在PC計(jì)算機(jī)群上快速有效地計(jì)算電力系統(tǒng)潮流成了一個(gè)新課題[6～8]。

本文通過研究基于節(jié)點(diǎn)分割的網(wǎng)絡(luò)分塊法，結(jié)合PC機(jī)群環(huán)境的特性，提出基于網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)分塊的電力系統(tǒng)潮流分解協(xié)調(diào)算法，在分析原有串行牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上選取合理的數(shù)據(jù)元素作為協(xié)調(diào)變量。并在IEEE14節(jié)點(diǎn)和IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)該算法進(jìn)行仿真測(cè)試。

1 網(wǎng)絡(luò)分塊方法的分類和分割原則

1.1 按切割元素的分類

Kron于20世紀(jì)50年代初提出了網(wǎng)絡(luò)分塊計(jì)算方法，文獻(xiàn)[9]介紹了他所提出的分塊法理論。網(wǎng)絡(luò)分塊方法按切割元素主要有兩種:一種是支路切割法，即在子網(wǎng)絡(luò)之間的聯(lián)絡(luò)線處加入電流源以代替各子網(wǎng)絡(luò)之間狀態(tài)變量的耦合影響，電流源矢量作為該方法的協(xié)調(diào)變量;另一種是節(jié)點(diǎn)分割法，即將原網(wǎng)絡(luò)分割為子網(wǎng)絡(luò)后在分割處加入電壓源以代替各子網(wǎng)絡(luò)之間狀態(tài)變量的耦合影響，電壓源矢量作為該方法的協(xié)調(diào)變量[10]。

1.2 按物理意義的分類

在網(wǎng)絡(luò)分塊法的實(shí)際應(yīng)用過程中，按物理意義又有分為兩種:一種為網(wǎng)絡(luò)的物理分塊法，即將整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)人為的強(qiáng)行分割為幾個(gè)部分，分割之后再通過各個(gè)網(wǎng)絡(luò)的分割處協(xié)調(diào)變量進(jìn)行交換迭代，此方法在一定程度上破壞了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的整體性;另一種為網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)分塊法，此方法其實(shí)并不是真正的分割，即形似割而神不割，主要通過將表征網(wǎng)絡(luò)特性的系數(shù)矩陣分解為通過協(xié)調(diào)部分互連的多個(gè)子矩陣，各個(gè)子矩陣可獨(dú)立求解，從而開發(fā)潮流求解的并行性。

網(wǎng)絡(luò)的物理分塊方法由于破壞了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)性，造成網(wǎng)絡(luò)的迭代收斂速度變慢，尤其是邊界協(xié)調(diào)部分很慢，更有時(shí)若是分割方法不恰當(dāng)，會(huì)造成最后不收斂。而網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)分塊方法則由于延續(xù)了電網(wǎng)的整體性，并沒有破壞原始的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，只是盡量開發(fā)數(shù)學(xué)計(jì)算上的并行性，因此它的收斂效果和精度與原有串行程序幾乎完全一樣。但是它的并行度可開發(fā)性需要進(jìn)一步研究。

網(wǎng)絡(luò)的分塊方法和并行算法的基本意義都在于降低潮流計(jì)算中雅可比矩陣的階數(shù)以縮短計(jì)算時(shí)間，當(dāng)然，并行算法還可以通過其他技術(shù)措施來達(dá)到縮短計(jì)算時(shí)間的目的。

1.3 網(wǎng)絡(luò)分塊基本原則

不管是哪一種分塊方法都必須遵循以下基本原則[11]。

(1)切割支路或分割節(jié)點(diǎn)的規(guī)模應(yīng)盡可能小。因?yàn)楦鱾€(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)(處理器)間的必需數(shù)據(jù)通信量與之息息相關(guān)，減少協(xié)調(diào)變量的數(shù)目，可以減少計(jì)算節(jié)點(diǎn)之間的交互通訊量，降低網(wǎng)絡(luò)通訊時(shí)間對(duì)計(jì)算速度的影響。

(2)各個(gè)子網(wǎng)絡(luò)規(guī)模大小盡量一致，即各個(gè)子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)、支路數(shù)盡量接近，保證各計(jì)算節(jié)點(diǎn)的計(jì)算負(fù)載相對(duì)平衡，由于計(jì)算時(shí)間與導(dǎo)納元素成比例，所以網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模由節(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)共同衡量。

此外，通過并行所獲得的效率通常會(huì)被由于分塊所引起的非零注入元抵消一部分，因此盡量減少非零注入元同樣需要被關(guān)注。

本文所采用的方法是基于節(jié)點(diǎn)分割的網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)分塊方法。

2 分解協(xié)調(diào)并行計(jì)算模型

2.1 線性方程組的分解并行計(jì)算模型

首先通過節(jié)點(diǎn)優(yōu)化和因子路徑樹方法確定網(wǎng)絡(luò)的分割節(jié)點(diǎn)[11，12]，而其他節(jié)點(diǎn)則按優(yōu)化后排序依次排列，分割節(jié)點(diǎn)排在節(jié)點(diǎn)編號(hào)末尾，通過這一步的前期工作。導(dǎo)納矩陣和雅可比矩陣的系數(shù)方程分別變換成

根據(jù)潮流計(jì)算的功率注入模型分析可知，要著重分析的是雅可比系數(shù)矩陣，因?yàn)?，在利用牛頓-拉夫遜法求解時(shí)需要面對(duì)的修正方程Ax=b中，A為雅可比矩陣，x為電壓修正向量，b為功率偏差值。

經(jīng)過上面合理的節(jié)點(diǎn)優(yōu)化和分塊之后，修正方程轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)角塊加邊形式BBDF(bordered block diagonal form)，即

式中:A11，…，Aii是子系統(tǒng)的稀疏矩陣;Ac是協(xié)調(diào)系統(tǒng)矩陣。

式(1)中第1～k個(gè)子系統(tǒng)矩陣塊所對(duì)應(yīng)的該行的方程組可以化成形式

而協(xié)調(diào)塊矩陣所對(duì)應(yīng)行的方程組為

消去xi，保留xc得到協(xié)調(diào)系統(tǒng)方程組為

其中:

2.2 網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)與分解

基于BBDF模型的潮流網(wǎng)絡(luò)分解與協(xié)調(diào)計(jì)算分解圖如圖1所示。

圖1 雅可比矩陣分解協(xié)調(diào)計(jì)算任務(wù)分配Fig.1 Distribution of Jacobi matrix decomposition and coordination calculation task

每一個(gè)子系統(tǒng)的對(duì)角元以及下邊和右邊的邊界協(xié)調(diào)元再加上右端向量被分在一個(gè)處理單元，而右下角的邊界協(xié)調(diào)元和它對(duì)應(yīng)的右端向量被分配于協(xié)調(diào)處理單元。

3 潮流并行算法數(shù)學(xué)模型和流程

3.1 潮流三角分解協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)模型

在上一節(jié)基礎(chǔ)上進(jìn)一步利用雅可比矩陣的因子表進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)分塊計(jì)算。

在每一個(gè)子系統(tǒng)(即前面分解圖中虛框內(nèi)的部分)中可以同時(shí)進(jìn)行并行分解計(jì)算，即

將式(6)分別代入式(5)中即可得

在分解過程中可以用消去法求出 Lii、Dii、Uii、Lci和Uic，并且在消去的同時(shí)進(jìn)行前代運(yùn)算求出Wi=L-1iibi，即可進(jìn)行矩陣簡單乘法運(yùn)算求出需要進(jìn)行通訊的 Ai和 Δ b，其中

考慮到在潮流計(jì)算中，修正方程組Ax=b中b向量與雅可比矩陣即A矩陣有一定的關(guān)聯(lián)性，所以需要更進(jìn)一步的分析。

在直角坐標(biāo)下，由牛頓-拉夫遜法求解潮流的修正方程式中PQ節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣元素和右端向量H 、N、M、L、Δ P 、Δ Q 的表達(dá)式可知 :非對(duì)角元素僅和節(jié)點(diǎn)各自的互導(dǎo)納以及節(jié)點(diǎn)自身電壓有關(guān)，而對(duì)角元素則和節(jié)點(diǎn)各自互導(dǎo)納以及與節(jié)點(diǎn)通過支路互連的所有節(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)。而右端向量求取表達(dá)式中Δ P和ΔQ均同對(duì)角元素一樣和節(jié)點(diǎn)各自互導(dǎo)納以及與節(jié)點(diǎn)通過支路互連的所有節(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)。即修正方程雅可比矩陣的對(duì)角元素與右端向量通過ai、bi產(chǎn)生聯(lián)系。其中

所以ai和bi的求取為關(guān)鍵。由于ai和bi與整個(gè)網(wǎng)絡(luò)均有關(guān)聯(lián)難以分割，所以在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，必須采取一定的策略。

本文所采用的方法是，對(duì)于各個(gè)子系統(tǒng)(子網(wǎng)絡(luò))，一般采取的策略是對(duì)于每一個(gè)分塊加上相應(yīng)的邊界塊，在求取該部分導(dǎo)納矩陣時(shí)，直接求取每一行的ai和bi進(jìn)行單獨(dú)存儲(chǔ)。在每一個(gè)分塊子系統(tǒng)中，由于任何兩個(gè)子系統(tǒng)之間無聯(lián)系(不計(jì)及切割節(jié)點(diǎn))，因而ai和bi易于求取。

但是在協(xié)調(diào)系統(tǒng)(協(xié)調(diào)網(wǎng)絡(luò))中求取則不一樣，前面提到ai和bi的值和該行所對(duì)應(yīng)的所有導(dǎo)納矩陣值以及互連支路上所有節(jié)點(diǎn)電壓有關(guān)，本文的每一個(gè)子系統(tǒng)只儲(chǔ)存有各自矩陣塊和節(jié)點(diǎn)電壓的信息。而且又發(fā)現(xiàn)ai和bi的求取過程是每一個(gè)導(dǎo)納相關(guān)值與其對(duì)應(yīng)的電壓值相乘后的累加，所以先分開求取ai和bi，然后再進(jìn)行塊的累加求取最終值。即

對(duì)于PV節(jié)點(diǎn)，由于節(jié)點(diǎn)電壓已知，經(jīng)過分析可知雅可比元素R、S與右端向量Δ U2沒有關(guān)聯(lián)。

通過以上的分析可知，在每個(gè)子系統(tǒng)中進(jìn)行分解計(jì)算之后要得到 Ai、Δ bi、aii、bii幾個(gè)值傳送至協(xié)調(diào)系統(tǒng)。

在協(xié)調(diào)系統(tǒng)，需要通過輸入?yún)f(xié)調(diào)系統(tǒng)的信息獲得協(xié)調(diào)系統(tǒng)雅可比矩陣Ac，通過各個(gè)子系統(tǒng)傳送來的數(shù)據(jù)計(jì)算 ∑Ai、∑Δ bi和bc，對(duì)協(xié)調(diào)系統(tǒng)方程組式(4)進(jìn)行分解計(jì)算為

求解xc并將它傳送至各個(gè)子系統(tǒng)，在各個(gè)子系統(tǒng)中同時(shí)進(jìn)行各個(gè)xi的求解，即

將式(6)代入式(10)即可求解xi。

通過這一整個(gè)過程，即完成一次迭代，判斷收斂性即可進(jìn)入下一次迭代。

3.2 潮流分解計(jì)算流程

整個(gè)潮流分解計(jì)算的流程如圖2所示。

圖2 潮流分解協(xié)調(diào)并行計(jì)算流程Fig.2 Process of decomposition and coordination parallel calculation

4 通信

由于通信時(shí)間所涉及的技術(shù)主要有網(wǎng)絡(luò)條件、硬件支持以及數(shù)學(xué)模型這幾方面，前面兩方面的內(nèi)容超出本文的研究內(nèi)容，所以本文在進(jìn)行并行計(jì)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)時(shí)暫時(shí)不考慮通信時(shí)間。

本文所做的只是把數(shù)學(xué)模型這一部分即需要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量進(jìn)行分析，在本文的算法數(shù)學(xué)模型中，一次迭代所需要的傳輸數(shù)據(jù)量與分割節(jié)點(diǎn)數(shù)目N有關(guān)，為(2N+1)2個(gè)數(shù)據(jù)。由于在分割中所選擇的分割方案充分考慮了分割節(jié)點(diǎn)數(shù)盡量小這一關(guān)鍵問題，因此傳輸數(shù)據(jù)總量也就相對(duì)比較小。

5 算例分析

5.1 測(cè)試結(jié)果

在時(shí)間的測(cè)試上，由于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模限制，運(yùn)行時(shí)間很短，為了便于比較，本文所測(cè)時(shí)間都是程序連續(xù)運(yùn)行30次后的時(shí)間，時(shí)間單位為s。

對(duì)于IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，本文根據(jù)合理的分區(qū)方案，把標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)原始節(jié)點(diǎn)號(hào)為5和9的節(jié)點(diǎn)作為分割節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)分為上下兩個(gè)子網(wǎng)來測(cè)試運(yùn)行時(shí)間，其測(cè)試結(jié)果見表1。

表1 IEEE14節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)及結(jié)果Tab.1 IEEE14-bus test system parameters and results

對(duì)于IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，根據(jù)合理的分區(qū)方案，將標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)原始節(jié)點(diǎn)號(hào)為 17、19、30 、37、49、65、69、77、80和100的10個(gè)節(jié)點(diǎn)作為分割節(jié)點(diǎn)，將整個(gè)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過分裂和整合成5個(gè)子網(wǎng)，其測(cè)試結(jié)果見表2。

表2 IEEE118測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)及結(jié)果Tab.2 IEEE 118-bus test system parameters and results

5.2 結(jié)果分析

經(jīng)過上面的試驗(yàn)測(cè)試可以看出，對(duì)于IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，本文所用的并行算法效果并不明顯，甚至有時(shí)速度會(huì)更慢，而對(duì)于IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，可以發(fā)現(xiàn)明顯的并行效率。

分析以上數(shù)據(jù)可以做出以下解釋，IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)規(guī)模小，節(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)也很少，所以在串行程序中能獲得很快的速度，而在并行程序中，由于采用分割網(wǎng)絡(luò)的方法，程序中多了一些分解協(xié)調(diào)的計(jì)算，還有數(shù)據(jù)的讀寫也比較費(fèi)時(shí)。但是在IEEE118節(jié)電系統(tǒng)中，由于網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模已經(jīng)大到一定程度，完全足以抵消前面所提到的一些多花費(fèi)的時(shí)間，因而取得了可觀的加速比。

由此可見，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的逐漸擴(kuò)大，并行程序的加速比將獲得提升，并行效率也將增長。

同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)，協(xié)調(diào)網(wǎng)所花費(fèi)時(shí)間與其節(jié)點(diǎn)規(guī)模相比偏大，主要原因在于此程序優(yōu)化不夠，浪費(fèi)時(shí)間多，還有很大的改進(jìn)空間。

6 結(jié)論

本文研究了基于PC機(jī)群的電力系統(tǒng)粗粒度并行潮流計(jì)算方法，提出了一種適用于PC機(jī)群計(jì)算環(huán)境的基于網(wǎng)絡(luò)分割的電力系統(tǒng)潮流分解協(xié)調(diào)并行算法。對(duì)IEEE標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的測(cè)試結(jié)果表明，該算法計(jì)算精度與普通串行牛頓-拉夫遜法一樣高，并且具有客觀的加速度。同時(shí)，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)大，加速度將更加明顯。

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