考慮隨機利率因素的保費隨機的復合Poisson風險模型

趙曉芹

（長沙理工大學 數學與計算科學學院，長沙 410004）

0 引言

古典風險模型是一個簡化的理想模型，很多條件都是為數學上處理方便而假定的。模型中，保險公司在單位時間內按常數速度取得保單且每張保單的保費均為常數，同時得到的資金不運用，這顯然不符合保險公司經營的實際情況。本文擬對古典風險模型作兩方面的推廣：一是保費隨機收取。將保單到達計數過程推廣為齊次Poisson過程，每張保單收入為一隨機變量；二是考慮隨機利率因素。在一般的風險理論文獻中，利率常被設定為常數[1]～[5]，但是許多經濟行為都是長期的，這期間政府政策、經濟周期等因素都會造成不確定性，即會帶來一定的風險，而未來利率的隨機性決定保險公司的賠付能力估計和應急準備金計劃，因此采用固定利率可能會帶來與實際之間的較大偏差。為了更準確地反映這種不確定性，避免由考慮常利率產生的風險，一種較好的方法就是采用隨機利率模型。文獻[6]研究了一類隨機利率模型，用概率論方法得到最終破產概率的表達式。本文將建立一類考慮隨機利率因素的保費隨機的風險模型，主要運用鞅方法，得到有限時間破產概率的一個上界及最終破產概率的Lundberg指數型上界估計。

1 模型的建立

定義 1 設 M={M(t);t≥0}，N={N(t);t≥0}分別是強度為 λ、α 的齊次 Poisson過程，{Xk,k=1,2,…}和{Yj,j=1,2,…}是兩獨立同分布的非負隨機變量序列，其分布函數分別為F（x）和G(x)，均值分別為u1、u2。I為一離散型非負隨機變量，分布律為P(I=ij)=pj,j=1,2,…，均值為 i。 假定 M，N，Xk，Yj，I相互獨立，u為正的常數。令

則式(1)中所定義的盈余過程為帶隨機利率的保費隨機收取的復合Poisson風險模型。

實際背景：M(t)表示在時段(0,t]內保險公司收取的保單數，每張保單的保費額是Xk；N(t)表示在時段(0,t]內保險公司的理賠次數，每次的理賠額為Yj；I為隨機利率，u為初始準備金。則R(t)為t時刻保險公司的盈余。令

容易得到

為了保證保險公司的穩(wěn)定經營，通常假設E[W(t)]>0，從而能保證相對安全負荷為正。更進一步，還可以假定λu1(1+imin)-αu2>0，其中imin是隨機利率I所有可能取的值中最小的值。

破產時刻定義為：

有限時間破產概率為：

最終破產概率為：

令

2 有限時間破產概率的一個上界

首先可以得到:

所以：

容易看到，盈余過程{W(t);t≥0}是一個右連續(xù)過程，具有獨立增量性。對于盈余過程{W(t);t≥0}，任意給定r>0，0≤s≤t，有

定理 1 {R(t)-ER(t);t≥0}是 F-鞅。

證明：對于任意s≤t，由過程{R(t);t≥0}具有獨立增量性，有

證畢。

定理2 令

則 Mu={Mu(t);t≥0}是 F-鞅。

證明：對于任意s≤t，由獨立增量性及式(2),得

證畢。

引理1 設T是一個有界停時，M是一個右連續(xù)F-鞅，則有

定理 3 ?t，有

式中 r滿足 r>0，h2(r)＜∞。

證明：由對函數hk(r)性質的假設知存在 r>0，使得 h2(r)＜∞，此時 h1(-r)＜∞，故由式(2)知，E{exp[-r(W(t)-W(s))]}＜∞。又由定理2知Mu是F-鞅。選取t＜∞，則t∧Tu是一個有界 F-停時。注意到而Mu是正的,所以由引理1得

由于當 Tu＜∞ 時,R(Tu)＜0,故

由此可得

兩邊取期望,得有限時間破產概率

證畢。

依據有限時間破產概率的上界估計式,保險公司可以根據以往的歷史資料,選擇制定適當的險種和合理的保費,預留必要的準備金,以使得有限時間破產概率(比最終破產概率更接近實際的每一時期的破產概率)達到預想小的程度。

3 最終破產概率的Lundberg指數型上界估計

在式(3)中令t→∞取極限,得

定義 2 令 R=sup{r｜g(r)≤0},稱 R為盈余過程(1)的調節(jié)系數。

定理4 方程g(r)=0存在唯一正解R,即調節(jié)系數。

證明:易知

又g''(r)>0,故曲線g(r)是下凹的,而且limg(r)=+∞

故方程g(r)=0有唯一正解R。

由此可得最終破產概率的Lundberg指數型上界估計。

定理5 最終破產概率

其中R為調節(jié)系數。

[1]Bjorn Sundt,Jozef L.Teugels.Ruin Estimates under Interest Force[J].Insurance:Mathematics and Economics,1995，（16）.

[2]Vladimir Kalashnikov,Dimitrios Konstantinides.Ruin under Interest Force and Subexponential Claims:a Simple Treatment[J].Insurance:Mathematics and Economics,2000,27.

[3]Ruud Brekelmans,Anja De Waegenaere.Approximating the Finitetime Ruin Probability under Interest Force[J].Insurance:Mathematics and Economics,2001,29.

[4]Dimitrios Konstantinides,Qihe Tang,Gurami Tsitsiashvili.Estimates for the Ruin Probability in the Classical Risk Model with Constant Interest Force in the Presence of Heavy Tails[J].Insurance:Mathematics and Economics,2002,31.

[5]張燕，田錚，劉向增.常利率下相依風險模型的破產問題[J].紡織高?；A科學學報，2007，20（4）.

[6]李晉枝，喬克林，何樹紅.隨機利率因素的破產模型[J].云南大學學報（自然科學版），2003，25（1）.

[7]Grandell J.Aspects of Risk Theory[M].New York:Springer-verlag,1991.