任意多邊形平面載流線圈磁場的空間分布

岑敏銳

(武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

載流線圈空間磁場分布的計(jì)算是電磁學(xué)中的一個常見問題，在各種形狀的載流線圈中，具有軸對稱性的圓形載流線圈研究得比較多[1-5]，而對不具有軸對稱性的多邊形載流線圈的磁場問題則研究得很少，且僅限于一些特殊的多邊形[6-8].本文根據(jù)一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)的磁場矢量公式，將多邊形載流線圈視為多段載流導(dǎo)線，然后根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，給出了求任意多邊形平面載流線圈在空間任意點(diǎn)的磁場分布的方法，并且運(yùn)用這種方法求出了任意多邊形平面載流線圈磁場的空間分布的普遍表達(dá)式.

1 一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)的磁場矢量公式

如圖1所示，一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為：

(1)

B的方向與電流的方向成右手螺旋關(guān)系.

如果只需要求一段載流直導(dǎo)線的磁場分布，根據(jù)(1)式，只要知道電流強(qiáng)度I，P點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離r0，導(dǎo)線與導(dǎo)線端點(diǎn)到P點(diǎn)連線的夾角θ1和θ2，就可以進(jìn)行求解.但如果需要求的磁場分布是由多段載流直導(dǎo)線組成的多邊形載流線圈所產(chǎn)生的，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，而(1)式只考慮了大小，在求空間某點(diǎn)P處的總磁感應(yīng)強(qiáng)度時，有必要將其改寫為矢量式.

圖1 一段載流直導(dǎo)線的磁場分布

設(shè)圖1中載流直導(dǎo)線的長度為d，從P點(diǎn)指向?qū)Ь€兩端點(diǎn)的矢量分別為r1和r2，則點(diǎn)P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和r1×r2矢量的方向相同.考慮方向后，(1)式中的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以寫成矢量式(2).

(2)

(3)

根據(jù)三角形的余弦定理得：

(4)

(5)

(6)

將(4)式、(5)式和(6)式代入(3)式中得：

(7)

如圖2所示，載流直導(dǎo)線P1P2位于Oxy平面之內(nèi)，從空間某點(diǎn)P(x，y，z)指向P1(x1，y1，0)和P2(x2，y2，0)的矢量分別為r1和r2.

式(7)中矢量r1和r2以及導(dǎo)線長度d分別為：

r1=(x1-x)i+(y1-y)j-zk

(8)

r2=(x2-x)i+(y2-y)j-zk

(9)

(10)

圖2 OXY平面內(nèi)一段載流直導(dǎo)線的磁場分布

將(8)、(9)和(10)式代入(7)式中得：

(11)

(11)式即為要求的一段載流直導(dǎo)線在空間某點(diǎn)的磁場矢量公式.其中，R、D1和D2分別為：

R=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]z2+[(y1-y2)x-

(x1-x2)y+(x1y2-x2y1)]2

(12)

(x1x2+y1y2)]

(13)

(x1x2+y1y2)]

(14)

根據(jù)(8)式和(9)式可以算出矢量r1×r2在三個坐標(biāo)軸上的分量分別為：

|r1×r2|x=z(y2-y1)

(15)

|r1×r2|y=z(x1-x2)

(16)

|r1×r2|z=x1y2-x2y1+xy1-x1y+x2y-xy2

(17)

將(15)、(16)和(17)式代入(11)式中可以求出多邊形任一條邊在空間某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在三個坐標(biāo)軸上的分量分別為：

(18)

(19)

(20)

在求出多邊形任意邊在空間某點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度后，根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，就可以求出整個線圈在空間的磁場分布.下面以菱形平面載流線圈為例，按照以上方法求出該線圈在空間的磁場分布.

2 菱形平面載流線圈磁場的空間分布

如圖3所示，設(shè)有一菱形載流線圈ABCD位于OXY平面之內(nèi)，各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(-a，0，0)、D(0，-b，0).根據(jù)(18)到(20)式分別求出AB、BC、CD和DA四條邊在空間某點(diǎn)P(x，y，z)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再根據(jù)場強(qiáng)疊加原理可以求出整個菱形平面載流線圈在P點(diǎn)的磁場分布.

圖3 菱形平面載流線圈的磁場分布

(21)

(22)

(23)

3 結(jié) 語

根據(jù)以上分析結(jié)果，對于任意多邊形平面載流線圈，只要知道其各頂點(diǎn)在OXY平面上的坐標(biāo)，代入(18)到(20)式中再求代數(shù)和即可得到該載流線圈在空間任意點(diǎn)的磁場分布.方法簡單、明了，易于理解，可以應(yīng)用到普通物理的教學(xué)中.

參考文獻(xiàn)：

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