函數(shù)組的廣義線性相關性

楊建華,柳翠華

(1.武漢工程大學理學院,湖北 武漢 430074；2.武漢工程大學智能機器人湖北省重點實驗室,湖北 武漢 430074)

文獻[1]給出了數(shù)列組的齊次線性相關性,文獻[2～5]給出了函數(shù)組的線性相關性,但其具有很大的局限性,例如函數(shù)組A:f(x)=x,g(x)=2x+1,顯然有很強的線性相依關系,但此函數(shù)組不是線性相關的.為此,有必要將函數(shù)組線性相關的概念加以延伸,使之具有更廣泛的適應性.本文借用文獻[2]中數(shù)列組的廣義線性相關性的概念,提出了函數(shù)組的廣義線性相關性.

1 定 義

定義1定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)y1(x),y2(x),…,yn(x)稱為一個函數(shù)組.

定義2給定函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x),對任何一組實數(shù)k1,k2,…,kn稱

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)

為函數(shù)組A的一個線性組合;稱

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a(a為常數(shù))

為函數(shù)組A的一個廣義線性組合,其中k1,k2,…,kn稱為這個線性組合的系數(shù).當a=0時,稱為齊次線性組合；當a≠0時,稱為非齊次線性組合.

定義3如果函數(shù)y(x)為函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)的一個廣義線性組合,即存在一組實數(shù)k1,k2,…,km,以及常數(shù)a,使得

y(x)=k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a

則稱函數(shù)y(x)可以由函數(shù)組A廣義線性表出(或廣義線性表示).當a=0時,稱函數(shù)y(x)可以由函數(shù)組A齊次線性表出(或齊次線性表示)；當a≠0時,稱函數(shù)y(x)可以由函數(shù)組A非齊次線性表出(或非齊次線性表示).

定義4[3-5]設A:y1(x),y2(x),…,yn(x)為一定義在區(qū)間I上的函數(shù)組,如果存在n個不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn,使得當x∈I時有恒等式

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0

成立,那么稱函數(shù)組A在區(qū)間I上線性相關;否則稱線性無關.

定義5設A:y1(x),y2(x),…,yn(x)為一定義在區(qū)間I上的函數(shù)組,如果存在一組不全為零的實數(shù)k1,k2,…,kn,以及常數(shù)a,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

則稱函數(shù)組A在區(qū)間I上廣義線性相關,當a=0時,稱函數(shù)組A齊次線性相關；當a≠0時,稱函數(shù)組A非齊次線性相關;否則稱函數(shù)組A廣義線性無關.

顯然,(1)如果函數(shù)組A中含有常數(shù)函數(shù)C,則函數(shù)組A一定廣義線性相關.

(2)函數(shù)組A廣義線性無關的充分必要條件為:對任意常數(shù)a,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,kn,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

則k1,k2,…,kn一定全為零,即k1=k2=…kn=0.

進而有函數(shù)組A廣義線性無關的充分必要條件為:如果存在一組數(shù)k1,k2,…,kn,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0

則k1,k2,…,km一定全為零,即k1=k2=…=kn=0.因此有

(3)廣義線性無關的函數(shù)組一定齊次線性無關.

(4)齊次線性相關的函數(shù)組一定廣義線性相關.

定義6如果函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)中,存在r(0≤r≤n)個函數(shù)yi1(x),yi2(x),…,yir(x)(稱為A的子函數(shù)組)滿足:

(1)yi1(x),yi2(x),…,yir(x)廣義線性無關；

(2)函數(shù)組A中的任何一個函數(shù)都可以由yi1(x),yi2(x),…,yir(x)廣義線性表出,則稱這r個函數(shù)所構成的函數(shù)組yi1(x),yi2(x),…,yir(x)為函數(shù)組A的一個廣義極大線性無關組,其中r稱為函數(shù)組A的秩,記作R(A),即R(A)=r.

定義7設A:y1(x),y2(x),…,yn(x),B:z1(x),z2(x),…,zm(x)為兩個函數(shù)組,如果函數(shù)組B中的任一函數(shù)都可以由函數(shù)組A廣義線性表出,則稱函數(shù)組B可以由函數(shù)組A廣義線性表出.

定義8設A:y1(x),y2(x),…,yn(x),B:z1(x),z2(x),…,zm(x)為兩個函數(shù)組,如果函數(shù)組A與B可以相互廣義線性表出,則稱函數(shù)組A與B廣義等價.

2 定 理

定理1函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)廣義線性相關的充分必要條件為函數(shù)組A中至少有一個函數(shù)可以由其余的函數(shù)所構成的函數(shù)組廣義線性表出.

證明(充分性)如果函數(shù)組A中有某個函數(shù),比如yn(x)可以由其余的函數(shù)廣義線性表出

yn(x)=k1y1(x)+k2y2(x)+…

+kn-1yn-1(x)+a

則

k1y1(x)+k2y2(x)+…+

kn-1yn-1(x)-yn(x)+a≡0

即函數(shù)組A廣義線性相關.

(必要性)如果函數(shù)組A廣義線性相關,則存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,不妨設km≠0,以及常數(shù)a,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

則

…+kn-1yn-1(x)+a)

即函數(shù)yn(x)可以由其余的函數(shù)y1(x),y2(x),…,yn-1(x)廣義線性表出.

定理2函數(shù)組A:y1(x),y2(x),yn(x)廣義線性相關的充分必要條件為函數(shù)組A的秩小于,即R(A)

證明充分性顯然,下證必要性.

設函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)廣義線性相關,即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn,不妨設kn≠0,以及常數(shù)a使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

則

…+kn-1yn-1(x)+a)

即函數(shù)yn(x)可以由其余的函數(shù)y1(x),y2(x),…,yn-1(x)廣義線性表出.而其余的函數(shù)當然可以由其自身廣義線性表出,因此,由定義函數(shù)組A的秩R(A)

推論函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)廣義線性無關的充分必要條件為它的秩R(A)=n.

定理3函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)與其任一個廣義極大線性無關組等價.

證明不妨設A0:y1(x),y2(x),…,yr(x)為其一個廣義極大線性無關組,顯然,函數(shù)組A0可以由函數(shù)組A廣義線性表出,反過來,由定義6可知,函數(shù)組A可以由A0廣義線性表出,所以A與A0廣義等價,即函數(shù)組A與其一個廣義極大線性無關組等價.

定理4函數(shù)組B:z1(x),z2(x),…,zm(x)可以由函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)線性表出的充分必要條件是A的秩等于由A組和B組所構成的新的函數(shù)組C:y1(x),y2(x),…,yn(x),z1(x),z2(x),…,zm(x)的秩,即R(A)=R(C)=R(A,B).

證明設A0:yi1(x),yi2(x),…,yir(x)為函數(shù)組A的一個廣義極大線性無關組.

充分性:由R(A)=R(C)=R(A,B)知,A0也為C的一個廣義極大線性無關組,所以,C中的任一函數(shù)都可以由A0廣義線性表出,由此可知函數(shù)組B中的任一函數(shù)都可以由A0廣義線性表出,進而可以由函數(shù)組A廣義線性表出.

必要性:設函數(shù)組B可以由函數(shù)組A廣義線性表出,而函數(shù)組A可以由A0廣義線性表出,因此函數(shù)組C可以由A0廣義線性表出,所以,A0為函數(shù)組C的一個廣義極大線性無關組,所以C的秩等于函數(shù)組A的秩,即R(A)=R(C)=R(A,B).

定理5如果函數(shù)組B:z1(x),z2(x),…,zm(x)可以由函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)廣義線性表出,則函數(shù)組B的秩不超過函數(shù)組A的秩,即R(B)≤R(A).

證明由定理4有R(A)=R(A,B),而R(B)≤R(A,B),所以R(B)≤R(A).

定理6如果函數(shù)組A與函數(shù)組B廣義等價,則A的秩等于B的秩,即R(A)=R(B).

證明由定理5及函數(shù)組廣義等價的定義即知結(jié)論成立.

定理7如果函數(shù)y1(x),y2(x)廣義線性相關,且系數(shù)都不為零,即存在全不為零的實數(shù)k1,k2使得k1y1(x)+k2y2(x)+a≡0,則y1(x),y2(x)的極限同時存在或者同時不存在.

證明由極限的運算性質(zhì)即得.

定理8如果函數(shù)組A廣義線性相關,且A中的任一函數(shù)的極限存在,則它的任一廣義線性組合的極限也存在,且等于極限的相同廣義線性組合.

證明由定義5及極限的運算性質(zhì)即得.

證明因為函數(shù)組A:y1(x),y2(x),…,yn(x)廣義線性相關,所以存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,以及常數(shù)a,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

因此

有非零解,故系數(shù)行列式

3 例 題

例1函數(shù)組A:x,2x,3x+1廣義線性相關,函數(shù)x為A一個廣義極大線性無關組,同樣函數(shù)x和3x+1也分別都是A的廣義極大線性無關組.

例2證明函數(shù)組A:x,x2廣義線性無關.

證明如果存在一組數(shù)k1,k2,以及常數(shù)a使得

k1x+k2x+a=0

則分別取x=1,x=2,x=3,得方程組

其只有零解,k1=k2=0,(a=0),所以函數(shù)組A廣義線性無關.

當x→∞時也收斂,且有極限0k1+1k2+a=k1+a.

當x→∞時有極限為0.

參考文獻：

[1]楊建華.數(shù)列組的齊次線性相關性[J].武漢工程大學學報,2009,31(9)：84-85,88.

[2]楊建華.數(shù)列組的廣義線性相關性[J].武漢工程大學學報,2009,31(12)：79-81,

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