一類具有常數(shù)收獲率的具有功能性反應捕食模型的定性分析

倪春青，胡志興

(北京科技大學 應用科學學院，北京 100083)

關(guān)于具有Holling功能性反應的捕食者-食餌模型，目前已有不少研究結(jié)果.文獻［1-3］研究了一類具有HollingⅢ功能性反應的食餌捕食-被捕食模型的極限環(huán)，證明了在一定條件下，正平衡點外圍存在唯一穩(wěn)定的極限環(huán).文獻［4］研究了一類被開發(fā)的捕食-食飼系統(tǒng)，證明了不穩(wěn)定的平衡點附近存在唯一極限環(huán).文獻［5］研究了一類具有HollingⅣ類功能反應的捕食-食餌模型，得到了系統(tǒng)軌線的全局穩(wěn)定性、極限環(huán)的存在性及系統(tǒng)無環(huán)的一些充分條件.文獻［6］和文獻［7］研究了一類具有功能反應的食餌捕食者系統(tǒng)模型，得出平衡點的性態(tài)，極限環(huán)不存在的判定條件.

1 模型的平衡點及其性態(tài)

考慮食餌種群在一類密度制約條件下，兩種群均具有收獲率的功能反應模型:

其中b0=H，b1=a-Hc，b2=b，d1=d+q2E.

所以系數(shù)矩陣的行列式D=(β+)(b1-2b2m1)(1+cm1)(-d1+ ρm1-d1β).

定理1 1)在x2＞m1＞x1的條件下，b1-2b2m1＞0時，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的不穩(wěn)定結(jié)點.b1-2b2m1＜0時，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的鞍點;

2)在x1＞m1的條件下，b1-2b2m1＞0時，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的鞍點.b1-2b2m1＜0時，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的穩(wěn)定結(jié)點;

3)在m1＞x2的條件下，b1-2b2m1＞0時，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的鞍點.b1-2b2m1＜0時，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的穩(wěn)定結(jié)點.

上述結(jié)論對M2(m2，0)也成立.

證明 1)x2＞m1＞x1，b1-2b2m1＞0時，-+ ρm1-d1β ＞ 0，＞0，跡T=2m1(-b0+b1m1-b2m1

2)+(β+)(b1-2b2m1)+(1+cm1)(-+ ρm1-d1β)＞0.所以x2＞m1＞x1，b1-2b2m1＞0時，＞0，T＞0，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的不穩(wěn)定結(jié)點.x2＞m1＞x1，b1-2b2m1＜0時，＜0，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的鞍點;

2)x1＞m1，b1-2b2m1＞0時，-+ ρm1-d1β ＜ 0，＜0，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的鞍點.x1＞m1，b1-2b2m1＜0時，＞0，T＜0，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的穩(wěn)定結(jié)點;

3)m1＞x2，b1-2b2m1＞0時，-+ ρm1-d1β ＜ 0，＜0，平衡點M1(m1，0)為模型(2)的鞍點.m1＞x2，b1-2b2m1＜0時， ＞0，T＜0.平衡點M1(m1，0)為模型(2)的穩(wěn)定結(jié)點.

同理可得M2(m2，0)的上述類似結(jié)論.

定理 2 當m1＜x1＜m2，b1-2b2x1＜0，-2βcx1-β ＜ 0時，T＜0，R1(x1)為穩(wěn)定的焦點或結(jié)點.當b1-2b2x1＞0，-2βcx1-β ＞ 0時，T＞0，R1(x1)為不穩(wěn)定的焦點或結(jié)點.R2()為模型(2)的鞍點.

證明 由模型(2)知，正平衡點R1(x1)處的系數(shù)矩陣為:

其中l(wèi)1=2x1(-b0+b1x1-)-(+)+(β+)(b1-2b2x1)，l2=-x1(1+cx1)，l3=(+)(-2dx1+ρ).系數(shù)矩陣的行列D=-l2l3=(1+cx1)(1+cx1)(-2d1x1+ρ)=x1

2 極限環(huán)的不存在性

定理3 若正平衡點R1(x1，)穩(wěn)定，且滿足 3b1＜d1，ρ＜d1βc+2b0+2βb2，則模型(2)無極限環(huán)，軌線趨于R1(x1).正平衡點R1(x1)不穩(wěn)定，且滿足 3b1＜d1，ρ＜d1βc+2b0+2βb2，則模型(2)無極限環(huán).

證明 若存在極限環(huán)，則必圍繞正平衡點R1(x1)，取 Dulac 函數(shù)B(x，y)=xrys，

3 數(shù)值仿真與生態(tài)意義

在定理3的條件下，取合適的參數(shù)，運用Matlab繪圖程序，得到系統(tǒng)不存在極限環(huán)的圖形.圖1顯示在相應參數(shù)下，兩種群共生共存，最終保持在平衡位置R1(x1).圖2顯示捕食者最終趨于滅亡.

圖1 平衡點穩(wěn)定時模型不存在極限環(huán)

圖2 平衡點不穩(wěn)定時模型不存在極限環(huán)

［1］田曉紅，徐瑞.一類具有HollingⅢ功能性反應的食物有限捕食-被捕食模型的極限環(huán)［J］.軍械工程學院學報，2008，20(3):73-75

［2］蘆雪娟，李冬梅.食餌種群具有常數(shù)收獲率的具有HollingⅢ功能性反應的捕食模型的定性分析［J］.哈爾濱理工大學學報，2006，11(4):51-53

［3］何德明，竇霽紅.具收獲率的一類食餌捕食系統(tǒng)定性分析［J］.西北大學學報，2009，39(1):19-22

［4］路亞朋，張睿.一類被開發(fā)的食餌捕食系統(tǒng)［J］.重慶工學院學報:自然科學版，2009，23(1):157-160

［5］王繼華，曾憲武.一類具有簡化 HollingⅣ類功能反應的捕食 -食餌模型的定性分析［J］.數(shù)學雜志，2004，24(6):701-705

［6］吳承強 一類具有功能反應的捕食-食餌系統(tǒng)的極限環(huán)［J］.福州大學學報:自然科學版，2004，32(4):410-412

［7］程榮福，蔡淑云，陳軍杰.一類具有功能反應的捕食 -食餌兩種群模型的定性分析［J］.生物數(shù)學學報，2002，17(4):406-410

［8］陳蘭蓀.數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法［M］.北京:科學出版社，1988

［9］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定［M］.北京:科學出版社，2001

［10］蔡燧林，錢祥征.常微分方程定性理論引論［M］.北京:高等教育出版，1994

［11］劉啟寬，張兆強，陳沖.一類具有功能反應的食餌 -捕食模型的定性分析［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2010，24(1):118-122