動力系統(tǒng)中幾個概念之間的聯(lián)系*

霍瑞麗

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

1 基本概念

定義1［1］設(shè)(X，Γ)是一個拓撲空間，x∈X，如果U是X的一個子集，滿足條件:存在一個開集V∈Γ，使得x∈V?U，則稱U是點x的一個鄰域.點x的所有鄰域構(gòu)成的X的子集族稱為點x的鄰域系.

定義2［2］設(shè)f:X→X是集合X到自身的一個映射，記fn(x)=f°fn-1(x)，f0(x)=x，n為正整數(shù)，稱fn(x)為f(x)的n次迭代，并稱n為fn關(guān)于f的迭代指數(shù).

從定義2可見，f0=id，fm°fn=fm+n，其中id表示恒同映射.映射的迭代構(gòu)成了一個半群.如果f是拓撲空間X的連續(xù)映射，其迭代構(gòu)成了一個離散半動力系統(tǒng){fn:n∈Z+}.如果f在X上同胚，其迭代構(gòu)成了一個離散動力系統(tǒng){fn:n∈Z}，兩者都簡記為(X，f).

定義3［3］設(shè)(X，f)是離散動力系統(tǒng)，x∈X，通過x軌道的 ω-極限集和 α-極限集分別定義如下:(x)={y∈+ ∞ ，使(x)→y};αf(x)={y∈+∞ ，使f-nj(x)→y}.其中，nj↗ +∞ 表示nj嚴格遞增.當(dāng)(X，f)是離散半動力系統(tǒng)時，只有ω-極限集.

定義4［2］設(shè)(X，f)是離散動力系統(tǒng)，x∈X，若存在自然數(shù)p，使得fp(x)=x，則稱x是f的周期點.滿足這一關(guān)系的最小自然數(shù)p稱為x的周期.周期為1時，稱x是f的不動點.用Perf(x)(x)((x))分別表示過x的周期軌道，周期軌道的正(負)半軌道.顯然，Perf(x)=(x)∪(x)，當(dāng)(X，f)是離散半動力系統(tǒng)時，周期軌道只有正半軌道，此時Perf(x)=(x).

定義5［2］設(shè)(X，f)是離散動力系統(tǒng)，點x∈X稱為是f的游蕩點.如果存在x的鄰域U，使得fk(U)∩U=?，?k∈Z{}

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