上海光源真空內(nèi)波蕩器積分場墊補中模擬退火算法的應(yīng)用

陸 杰 周巧根 王宏飛

(中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800)

真空內(nèi)波蕩器可使中能第三代同步輻射光源產(chǎn)生與高能光源相比美的硬X射線，這一關(guān)鍵設(shè)備的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其制造工藝集高精度磁體技術(shù)、超高真空技術(shù)、精密機械傳動和控制技術(shù)于一體。上海光源BL15U1線站使用真空內(nèi)波蕩器(IVU-25)，其全部磁體和支撐梁處于超高真空環(huán)境中[1]。設(shè)計參數(shù)為：周期長度25 mm，周期數(shù)80，總長度2.0 m，峰值磁場強度≥0.94 T，最小使用磁隙7 mm，最大使用磁隙20 mm (30 mm)，最小工作磁隙(半年內(nèi)) 8 mm，積分場四極分量≤50×10–4T，六極分量≤60×10–2T/m，八極分量≤100 T/m2。

理想的波蕩器當(dāng)無磁場誤差，實際上由于波蕩器上使用的磁化塊不可避免地存在剩磁不一致、磁化不均勻等問題，加上安裝過程中的機械公差等因素，波蕩器會有一定的磁場誤差。其磁場性能直接影響儲存環(huán)的工作狀態(tài)，一般采用積分場及多極分量來衡量波蕩器磁場誤差對儲存環(huán)工作狀態(tài)的影響[2]，積分場四極分量誤差會引起加速器工作點漂移；六極分量會造成β振蕩非線性，減小束流孔徑；八極分量也會導(dǎo)致束流孔徑減小，并降低束流壽命[3]。

波蕩器一、二次積分場誤差，可通過安裝在波蕩器兩端的調(diào)補線圈進行墊補；而積分場多極分量則由波蕩器兩端的磁柱組合端部結(jié)構(gòu)進行墊補[4,5]，這種磁柱組合端部結(jié)構(gòu)稱為“魔指”(magic fingers)。在積分場多極分量墊補過程中，我們使用模擬退火算法進行積分場多極分量的優(yōu)化計算。本文給出了模擬退火算法詳細的優(yōu)化過程，通過優(yōu)化一次積分場分布來墊補多極分量。

1 模擬退火算法基本理論

統(tǒng)計熱力學(xué)表明，在平衡狀態(tài)下，原子能量的概率分布滿足Boltzmann方程

式中，Em為狀態(tài)m的能量，Pm為原子在狀態(tài)m的幾率，k為Boltzmann常數(shù)，Z為概率分布的標準化因子，T為溫度(K)。對固體材料作退火處理，是將材料加溫再降溫。由式(1)，升溫時固體材料的原子處于能量較低微觀態(tài)的幾率較大；降溫時，能量最低的微觀態(tài)最有可能出現(xiàn)；溫度趨于零時，固體原子處于能量最小的基態(tài)，形成低能態(tài)晶格。

模擬退火法(Simulated Annealing Algorithm)[6]采用Metropolis接受準則，并用冷卻進度表控制算法進程，使算法在多項式時間里給出一個近似最優(yōu)解。式(2)為模擬退火算法過程的概率函數(shù)，Metropolis接受準則可描述為：把組合問題的初始狀態(tài)m作為當(dāng)前狀態(tài)，其目標函數(shù)為F(m)，對組合進行隨機微小變化，得到新狀態(tài) n，目標函數(shù)為F(n)，當(dāng)F(n)< F(m)，以n取代m成為當(dāng)前狀態(tài)；當(dāng)F(n)≥F(m)，則在[0,1)區(qū)間產(chǎn)生一個隨機數(shù)μ，若p＞μ, 則以n取代m成為當(dāng)前狀態(tài)，相應(yīng)的解作為當(dāng)前新解。

模擬退火算法具體步驟是：從某個初始解出發(fā)，經(jīng)Lk次變換并執(zhí)行Metropolis算法，得到控制參數(shù)溫度T=T0時組合問題的優(yōu)化解。依據(jù)冷卻進度表遞減T值，重復(fù)執(zhí)行Metropolis算法，經(jīng)k次迭代使控制參數(shù)T趨于零，最終求得組合優(yōu)化問題的最優(yōu)解。Lk為MapkoB鏈長度，表示Metropolis算法第k次迭代時進行的變換數(shù)，此時的控制參數(shù)為Tk。

2 波蕩器積分場多極分量優(yōu)化目標的建立

2.1 “魔指”端部結(jié)構(gòu)模型

真空內(nèi)波蕩器有4個“魔指”結(jié)構(gòu)，分別安裝在波蕩器入口和出口上下磁排列的端部。單個端部結(jié)構(gòu)上有兩排共34個孔位(圖1)。計算時以中心孔位置為X軸零點，則孔的中心坐標沿水平方向的分布范圍為[-35.2, 35.2] mm，間距4.4 mm。用于墊補的小磁柱參數(shù)為：半徑r=1.5 mm，厚度H=2.5 mm，剩磁Br=1.13 T。根據(jù)設(shè)計，每孔可置0–6個小磁柱組合以調(diào)節(jié)磁場大小，使其產(chǎn)生所需的一次積分場分布。

圖1 真空內(nèi)波蕩器IVU-25的“魔指”端部結(jié)構(gòu)Fig.1 The holder for magic fingers of the in-vacuum undulator (IVU-25).

2.2 積分場多極分量優(yōu)化目標的建立

式(3)和(4)為波蕩器磁場橫向分量 Bx,y(x,y,z)沿縱向Z軸的一、二次積分Ix,y(x)、IIx,y(x)。用式(5)、(6)對波蕩器一次積分場誤差 Iy(x)、Ix(x)進行多項式擬合，可得波蕩器積分場多極分量，其中 Bn為正2n極分量，An為斜2n極分量[7]，n =2, 3與4則分別為四極分量、六極分量與八極分量。式(3)–(6)表明，減小波蕩器一次積分場誤差，可減小積分場多極分量。

通過“魔指”端部結(jié)構(gòu)進行墊補前分配入口和出口的一次積分墊補量如式(7)、(8)所示，可同時墊補二次積分多極分量，式中Iin-x,y(x)、Iout-x,y(x)分別為分配后波蕩器入口、出口端需墊補的一次積分，Lout為波蕩器出口端到翻轉(zhuǎn)線圈[7]出口端的距離，Lu為波蕩器長度。

式(9)–(11)為積分場多極分量優(yōu)化時的目標函數(shù)：

其中，F(xiàn)j(xk)為正分量一次積分分布；Gj(xk)為斜分量一次積分分布；j為需優(yōu)化的磁隙數(shù)目；i為端部塊某孔位號，孔中有0–6個小磁柱組合；xk表示中平面上水平方向位置；fij(xk)、gij(xk)分別是端部結(jié)構(gòu)中不同位置孔中的小磁柱組合在不同磁隙的中平面上產(chǎn)生的正、斜分量一次積分分布，可通過磁荷模型進行計算；wj為優(yōu)化時不同磁隙的權(quán)重系數(shù)。

圖2 單個磁柱計算模型Fig.2 Single magnet model.

用圖 2的單個磁柱模型(圖中箭頭表示磁柱的磁化方向)，并設(shè)磁柱的幾何中心為(a, b, c)，磁柱的磁導(dǎo)率為1，則用磁荷模型可得磁柱在(x, y, z)點的磁場正、斜一次積分解析公式：

式中，Br為磁柱的剩磁，r為磁柱半徑，H為磁柱高度，p為磁柱的磁化方向(磁柱磁化方向同y軸，p=1；反之，p=-1)。

通過建立目標函數(shù)，積分場多極分量墊補問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化一次積分場分布。具體優(yōu)化時，已知誤差數(shù)據(jù)，尋找最佳的能抵消誤差的磁柱組合是一個逆向過程，使用模擬退火算法可模擬“魔指”端部結(jié)構(gòu)中所有孔中小磁柱的隨機組合放置方式，即每個孔中的磁柱放置數(shù)量及其組合的磁化方向，計算每種組合的目標函數(shù)值，快速找到最佳磁柱組合。

2.3 模擬退火算法在多極分量優(yōu)化過程中的應(yīng)用

IVU-25積分場多極分量墊補前，我們用翻轉(zhuǎn)線圈測量系統(tǒng)測量了波蕩器氣隙為8、12、16和20 mm時中平面上的一次積分Ix,y(x)及二次積分IIx,y(x)誤差分布數(shù)據(jù)，測量寬度為±10 mm，間隔2 mm。根據(jù)式(7)、(8)對墊補量進行分配，利用模擬退火算法，設(shè)置合理的權(quán)重系數(shù)wj，同時優(yōu)化這四個磁隙下的一次積分場分布。優(yōu)化過程中權(quán)重系數(shù)設(shè)置時，觀察理論墊補后一次積分曲線，適當(dāng)加大模擬墊補后不理想磁隙的權(quán)重，以達到多個磁隙下最佳墊補效果。一般說來，波蕩器中積分場誤差隨磁隙的變化規(guī)律與墊補磁柱產(chǎn)生的積分場隨磁隙的變化類似，可將權(quán)重系數(shù)均設(shè)定為1，在IVU-25墊補中，四個待優(yōu)化磁隙的權(quán)重系數(shù)為[1,1,1,1]。

由波蕩器積分場多極分量優(yōu)化目標函數(shù)，得模擬退火算法優(yōu)化流程如圖3，圖中ΔF為擾動前后的目標函數(shù)差，T為退火溫度，α為退火因子。依據(jù)Metropolis接受準則，控制參數(shù)溫度 T越高或 ΔF越小，相對的擾動解被接受為新解的概率越高；當(dāng)控制參數(shù)溫度T隨迭代次數(shù)降低時，較差的擾動解被接受為新解的概率也隨之下降；當(dāng)控制參數(shù)溫度趨于零時，程序可得到優(yōu)化問題的整體最優(yōu)解。

圖4為優(yōu)化過程中目標函數(shù)的變化，可見模擬退火算法不依賴于優(yōu)化問題的初始解，隨著模擬次數(shù)的增加，最終收斂于整體最優(yōu)解。

圖3 多極分量優(yōu)化模擬退火算法程序流程圖Fig.3 The logic diagram of simulated-annealing optimization procedure.

圖4 優(yōu)化過程中目標函數(shù)變化Fig.4 Changes in object function value in the simulation.

圖5為IVU-25在磁隙為8、12、16和20 mm時墊補前后的正、斜分量一次積分分布曲線。多極分量墊補后一次積分誤差分布顯著減小，模擬退火算法優(yōu)化得到的墊補磁柱在波蕩器多個磁隙下均能有效的進行墊補。表1、2分別為墊補前后的正、斜分量積分場多極分量，墊補后積分場多極分量明顯減小，均達到設(shè)計要求。

圖6所示為墊補后測量得到的磁隙為7–28 mm時積分場多極分量隨磁隙的變化曲線，可見通過減小波蕩器一次積分場誤差以優(yōu)化積分場多極分量的墊補方法，是可行的。

圖5 磁隙為8、12、16、20 mm時墊補前后一次積分分布Fig.5 First field integrals before and after shim at the gaps of 8, 12, 16 and 20 mm.

表1 墊補前后正分量積分場多極分量Table 1 The normal integrated multipole components before and after shim.

表2 墊補前后斜分量積分場多極分量Table 2 The skew integrated multipole components before and after shim.

圖6 真空內(nèi)波蕩器磁隙7–28 mm時多極分量曲線Fig.6 Gap vs integrated multipole components of the IVU-25.● Normal ▲ Skew

3 結(jié)論

模擬退火法描述簡單、使用靈活、運用廣泛、運行效率高，已成功應(yīng)用于上海光源真空內(nèi)波蕩器積分場墊補中。通過模擬退火算法的優(yōu)化，“魔指”端部磁柱能有效墊補全磁隙內(nèi)的積分場多極分量。墊補結(jié)果顯示，各多極分量均達到設(shè)計要求。上海光源真空內(nèi)波蕩器(IVU-25)已安裝到存儲環(huán)上，并調(diào)試成功出光。

1 Onuki H, Elleaume P.Undulators.Wigglers and their applications, Taylor & Francis, London, 2003

2 Musardo M, Bracco R, Diviacco B, et al.Magnetic characterization of an APPLE-II undulator prototype for fermi@elettra.Proc EPAC08, 2296

3 Tanaka T, Seike T, Kitamura H.Nucl Instrum Meth Phys Res, 2001, A465: 600–605

4 Hoyer E, Marks S, Pipersky P, et al.Rev Sci Instrum,1995, 66(2): 1901–1903

5 Iviacco B, Bracco R, Knapic C, et al.Trim magnets for field integral correction of APPLE type undulators,Sincrotrone Trieste Technical Note ST/SL-04/01

6 康立山, 謝 云, 尤矢勇, 等.模擬退火算法.北京: 科學(xué)出版社, 1998 KANG Lishan, XIE Yun, YOU Shiyong, et al.Simulated annealing algorithm.Beijing: Science Press, 1998

7 王宏飛, 陸 杰, 周巧根, 等.強激光與粒子束, 2008,20(5): 871–875 WANG Hongfei, LU Jie, ZHOU Qiaogen, et al.High Power Laser Part Beams, 2008, 20(5): 871–875