微電容加速度計(jì)結(jié)構(gòu)的熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化

謝勇君，嚴(yán)冬松，陳煥遠(yuǎn)，劉 浩，李景明

(暨南大學(xué)電氣自動(dòng)化研究所，廣東 珠海 519070)

利用微機(jī)電系統(tǒng) (Micro Electro Mechanical System，MEMS)技術(shù)生產(chǎn)的微機(jī)械加速度計(jì)，是一種以硅為主要材料的微加速度計(jì)，和傳統(tǒng)加速度計(jì)相比，微機(jī)械加速度計(jì)因具有體積小、成本低、可大批量生產(chǎn)等優(yōu)勢(shì)，在航空航天、國(guó)防軍事、汽車工業(yè)及工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。微加速度計(jì)按敏感原理的不同，可以分為：電容式、壓阻式、壓電式和隧道效應(yīng)式，其中電容式微加速度計(jì)應(yīng)用最為廣泛[1]。

微電容加速度計(jì)等MEMS器件，主要以硅作為制作材料，而且經(jīng)常需在高溫環(huán)境中使用。由于硅材料是一種熱敏材料，當(dāng)溫度變化時(shí)，會(huì)使微加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，進(jìn)而影響微加速度計(jì)工作的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性。因此，在微加速度計(jì)概念設(shè)計(jì)階段，就考慮溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞挠绊?，設(shè)計(jì)出綜合性能最優(yōu)的結(jié)構(gòu)拓?fù)湫问剑刮⒓铀俣扔?jì)受熱膨脹后，在加速度檢測(cè)方向的形變最小，對(duì)微加速度計(jì)工作性能和測(cè)量精度的提高，都具有重要意義。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，是一種創(chuàng)新設(shè)計(jì)方法和手段，處于產(chǎn)品的概念設(shè)計(jì)階段，采用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，能夠顯著降低研發(fā)成本，提升產(chǎn)品性能。把連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，用于微加速度計(jì)結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)，在結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的迭代計(jì)算過程中，由于溫度場(chǎng)的不斷變化和重新分布，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部熱應(yīng)力分布的變化，從而導(dǎo)致熱負(fù)荷的變化；熱負(fù)荷邊界條件的變化，又影響結(jié)構(gòu)拓?fù)浞植嫉母淖?；同時(shí)由于結(jié)構(gòu)拓?fù)浞植嫉淖兓?，也?huì)導(dǎo)致物體實(shí)際傳熱載體的變化；這又進(jìn)一步影響溫度場(chǎng)的重新分布。因此，溫度場(chǎng)和結(jié)構(gòu)拓?fù)湫螤钍且粋€(gè)相互影響和關(guān)聯(lián)的過程，兩者之間存在較強(qiáng)的交互耦合作用關(guān)系[2]。

本文建立了熱固耦合場(chǎng)結(jié)構(gòu)的有限元控制方程，采用基于SIMP的伴隨矩陣求解技術(shù)，分析了熱固耦合場(chǎng)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，對(duì)單元相對(duì)密度設(shè)計(jì)變量的敏度信息?；赟IMP材料插值模型，對(duì)叉指式微電容加速度計(jì)質(zhì)量塊的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，以質(zhì)量塊受熱膨脹后，在加速度檢測(cè)方向的最大形變小于某一給定值為目標(biāo)，以質(zhì)量塊的體積比為約束條件，建立了質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化模型，并采用優(yōu)化準(zhǔn)則算法進(jìn)行優(yōu)化迭代求解，得到了微電容加速度計(jì)質(zhì)量塊的最優(yōu)拓?fù)湫问健?/p>

1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的材料插值模型

在拓?fù)鋬?yōu)化中，材料插值模型是一切后續(xù)優(yōu)化的基礎(chǔ)。常用的材料插值模型有：均勻化方法、變密度法、變厚度法等[3]。目前在工程拓?fù)鋬?yōu)化問題中，用得比較多的是變密度法。變密度法插值模型主要有：SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)材料插值模型和RAMP(Rational Approximation of Material Properties)材料插值模型。其中SIMP材料插值模型，能方便地獲得單元密度與彈性模量之間的關(guān)系，減少優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，簡(jiǎn)化優(yōu)化求解過程。

SIMP材料插值模型的思想和前提是：在離散單元內(nèi)部的材料屬性為常數(shù)，設(shè)計(jì)變量定義為離散單元的相對(duì)密度，用xe來表達(dá)，設(shè)原始設(shè)計(jì)單元密度為ρ0，優(yōu)化后單元密度為ρ，則存在關(guān)系式：ρ=xeρ0[4]。

其中，

ρ為懲罰權(quán)因子，其目的是對(duì)中間密度單元項(xiàng)進(jìn)行懲罰，以減少結(jié)構(gòu)中間密度單元的數(shù)目，使結(jié)構(gòu)單元密度盡可能為0或1。

2 熱固耦合場(chǎng)的有限元控制方程

由于熱、結(jié)構(gòu)耦合場(chǎng)分析中，一般不會(huì)發(fā)生幾何非線性、材料非線性等情況。因此結(jié)構(gòu)場(chǎng)的計(jì)算采用線性有限元分析方法，沒有考慮材料的非線性行為。另外，假設(shè)結(jié)構(gòu)場(chǎng)的變化不會(huì)影響材料的熱傳導(dǎo)屬性，熱力場(chǎng)為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，因此，熱、結(jié)構(gòu)的雙向耦合，就變成了熱—結(jié)構(gòu)的單向耦合計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。

將熱力場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)用有限元方法進(jìn)行離散近似求解[2]，假設(shè)為平面應(yīng)力模型，二維計(jì)算域離散為四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，熱和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分別可離散為以下兩個(gè)有限元方程：

其中，P、F分別代表熱載荷矢量和結(jié)構(gòu)外載荷矢量，溫度場(chǎng)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生熱應(yīng)變；

KT為結(jié)構(gòu)熱傳導(dǎo)矩陣；

KU為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；

UT為溫度向量；

U為位移矢量；

系統(tǒng)矩陣和矢量均依賴于單對(duì)密度xe，系統(tǒng)矩陣由單元矩陣組成。

其中，he為單元熱對(duì)流系數(shù)矩陣。

3 熱固耦合場(chǎng)的敏度分析

其中，L為伴隨載荷矢量，該矢量除輸出自由度i位置處的分量值為1外，其他的載荷分量值都為0。

假設(shè)已用有限元方法求得熱力場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)問題。在線彈性結(jié)構(gòu)的二維熱、固耦合場(chǎng)中，當(dāng)結(jié)構(gòu)離散為四節(jié)點(diǎn)四邊形單元時(shí)有：

由于伴隨矩陣矢量的取值無(wú)限制，為消除未知的位移敏度項(xiàng)，可令包含dU/dxe的項(xiàng)為零，即：

方程(8)等價(jià)于下面的伴隨載荷方程：

其中，α為結(jié)構(gòu)熱膨脹系數(shù)向量，△T為溫度差，B為結(jié)構(gòu)應(yīng)變矩陣，D為結(jié)構(gòu)彈性矩陣。

4 微電容加速度計(jì)結(jié)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化

4.1 優(yōu)化模型構(gòu)建及其計(jì)算流程

叉指式微加速度計(jì)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由質(zhì)量塊、彈性梁、動(dòng)指和靜指構(gòu)成。圖1中x軸方向?yàn)榧铀俣葯z測(cè)方向，彈性梁、動(dòng)指和靜指為非設(shè)計(jì)域，質(zhì)量塊為設(shè)計(jì)域。微加速度計(jì)由室溫情況下進(jìn)入較高溫度的工作環(huán)境時(shí)，由于材料的熱膨脹而產(chǎn)生熱負(fù)荷，結(jié)構(gòu)在熱負(fù)荷的作用下產(chǎn)生變形和位移。設(shè)結(jié)構(gòu)的溫度變化范圍為0~300℃，要求解在70%體積約束下，微電容加速度計(jì)質(zhì)量塊受熱膨脹后，在加速度檢測(cè)方向的最大形變小于某一給定值，硅的熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3×10-6/℃，楊氏模量為1.9×1011N/m2，泊松比為0.3，彈性梁的剛度為150 N/m，結(jié)構(gòu)離散為100×40的四節(jié)點(diǎn)四邊形單元。

圖1 叉指式微加速度計(jì)的基本結(jié)構(gòu)

質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化模型可寫為：

式中，?*為結(jié)構(gòu)受熱時(shí)加速度檢測(cè)方向最大形變的限制值，在本算例中，設(shè)其為25 nm。

目前用于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中的數(shù)值算法，包括優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。由于優(yōu)化準(zhǔn)則法推導(dǎo)過程簡(jiǎn)單直觀，收斂速度快[5]，本文采用優(yōu)化準(zhǔn)則法，進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量的更新和求解。結(jié)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算流程

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖3為叉指式微電容加速度計(jì)質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)熱固耦合拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，圖4為目標(biāo)函數(shù)迭代收斂曲線圖?？梢?，微加速度計(jì)在0~300℃環(huán)境溫度下工作時(shí)，其質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)若采用圖3所示的拓?fù)湫问?，則質(zhì)量塊在加速度檢測(cè)方向的最大形變僅為23.9 nm，小于最大形變的限制值(25 nm)。

圖4 目標(biāo)函數(shù)迭代收斂曲線圖

5 結(jié)束語(yǔ)

計(jì)算結(jié)果表明，通過對(duì)熱固耦合結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的耦合場(chǎng)結(jié)構(gòu)有限元控制方程和敏度分析的深入研究和算法實(shí)現(xiàn)，基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的SIMP材料插值模型，對(duì)叉指式微電容加速度計(jì)的質(zhì)量塊結(jié)構(gòu)進(jìn)行熱固耦合場(chǎng)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。在0~300℃環(huán)境溫度變化范圍和70%體積約束條件下，得到了叉指式微電容加速度計(jì)質(zhì)量塊的最優(yōu)拓?fù)湫问?。該拓?fù)湫问降馁|(zhì)量塊，在加速度檢測(cè)方向的最大形變僅為23.9 nm，小于該方向的最大形變限制值(25 nm)。從而在微加速度計(jì)概念設(shè)計(jì)階段，就考慮了溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)涞挠绊?，為后續(xù)的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)提供可靠的依據(jù)。同時(shí)也為微電容加速度計(jì)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，提供一種有效的方法。

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