一類具有年齡和加權(quán)的半線性種群系統(tǒng)的解

代麗麗,宋芳芳

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 通化134002)

1 問題的陳述

本文考慮與年齡相關(guān)的半線性時(shí)變種群系統(tǒng)(P)：

其中p(a,t)是時(shí)刻t年齡為a的單種群年齡密度分布,p0(a)是t=0時(shí)種群年齡密度的初始分布,Q=(0,A)×(0,T),T是某個(gè)固定時(shí)刻,0

2 系統(tǒng)解的表達(dá)式

定義1 所謂系統(tǒng)(P)的解是指函數(shù)p(a,t)∈L∞(Q)沿著t-a=C(C為常數(shù))絕對(duì)連續(xù),且滿足

定理1 固定函數(shù)S∈L∞(0,T),S(t)≥0對(duì)于任意的t∈(0,T),應(yīng)用特征線法可將系統(tǒng)(P)的解表示為

(1)

其中

s∈(0,min{a,t}).而b(·;S)為下列Volterra積分方程的解

t∈(0,T)

(2)

這里

F(t;S)=

(3)

K(t,a;S)=β(a,t;S)∏(a,t,a;S)

證明 固定函數(shù)S∈L∞(0,T)，S(t)≥0，?t∈(0,T)，為求解下列方程組

(4)

我們將其分解為兩個(gè)方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)：

(5)

(6)

第一步：解方程組(5).

由一階偏微分方程的有關(guān)理論知，與(5)中的第一式完全等價(jià)的常微分方程組為

(7)

由(5)中的第二式所表示的邊界條件可用如下用參數(shù)τ的方程表示

a0=0，t0=τ，p(0,τ)=b(τ).

(8)

將(7)的前兩個(gè)方程的解代入(7)的第三個(gè)方程中，有

-μ(a0+l,t0+l;S(t0+l))p(a0+l,t0+l).

(9)

為表示方便，令y(l)=p(a0+l,t0+l),

z(l)=-μ(a0+l,t0+l;S(t0+l))，于是有

p(l,τ+l)=p(0,τ)exp{-

對(duì)任意t>a>0，得

p(a,t)=b(t-a)exp{-

此解顯然滿足邊界條件p(0,t)=b(t)，將b(t)在(-∞,0)上延拓為0，則方程組(5)的解有表達(dá)式

(10)

第二步：用同樣的方法解方程組(6).

方程組(6)的解有表達(dá)式為

(11)

由(10)和(11)不難看出，在區(qū)域G={(a,t)|a≥0,t≥0}上，方程組(4)的解可表示為

(12)

其中

(13)

第三步：將系統(tǒng)(P)的解(12)表示為(1)的形式.

為了將系統(tǒng)(P)的解表示為(1)的形式，我們作如下變換：當(dāng)a>t>0時(shí)，令ρ=t-τ，則

(14)

當(dāng)a≤t時(shí)，令ρ=a-τ，則

(15)

由(14)、(15)，令

∏(a,t,s;S)=

s∈(0,min{a,t})

(16)

將(16)代入(12)，則

(17)

將解的表達(dá)式(17)代入(13)，有

其中K(t,a;S)=β(a,t;S(t))∏(a,t,a;S)

t)∏(a,t,t;S)da+u(t)

(18)

作變量替換，令a=l+t，則上式中

(19)

F(t;S)=

證畢.

參考文獻(xiàn):

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