線荷載作用下混凝土雙向板的撓度分析

張先進(jìn)， 石 俊, 陳 浩

(1.華中科技大學(xué) a.土木工程與力學(xué)學(xué)院; b.控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430074；2. 武漢寶安房地產(chǎn)開發(fā)有限公司， 湖北 武漢 430079)

鋼筋混凝土雙向板在工業(yè)與民用建筑中應(yīng)用十分廣泛，隨著板的應(yīng)用跨度日益增大，常常遇到板上作用有集中線荷載的情況，如隔墻等，此時(shí)預(yù)測板在正常使用階段的撓度對指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)具有重要的意義。

在計(jì)算鋼筋混凝土雙向板的撓度時(shí)，有兩個(gè)方面的問題需要解決：(1)確定位移函數(shù)；(2)確定適當(dāng)?shù)目箯潉偠取?/p>

對鋼筋混凝土雙向板而言，確定適當(dāng)?shù)目箯潉偠缺攘焊鼮槔щy。雖然文氏[1]等人提出了如下經(jīng)驗(yàn)方法：當(dāng)荷載較小(裂縫出現(xiàn)前)時(shí)，按毛截面計(jì)算EI值，當(dāng)荷載較大(裂縫出現(xiàn)后)時(shí)，按換算截面計(jì)算EI值，但實(shí)際情況表明，這不能從根本上解決板在使用階段的撓度計(jì)算問題。

1 雙向板位移函數(shù)的選取與確定

1.1 四邊簡支板

四邊簡支矩形鋼筋混凝土板的計(jì)算簡圖如圖1所示，板沿x、y方向的邊長分別為a、b，板厚h，在跨中(0≤x≤a，y=b/2)處作用有垂直于板面向下、大小為q0的線荷載。視混凝土雙向板為雙向正交異性板，由于變形的連續(xù)性，必存在一個(gè)連續(xù)的位移函數(shù)。

圖1 簡支雙向板計(jì)算簡圖

設(shè)位移函數(shù)：

(1)

式中，D為待定位移系數(shù)。顯然，該函數(shù)滿足四邊簡支板的邊界條件。

根據(jù)小撓度板理論[2～4]，板的內(nèi)部虛功：

式中，B0為四邊簡支板的短期抗彎剛度，將式(1)代入上式中，可得

(2)

考慮板面同時(shí)作用有線荷載q0和均布活荷載q′，則線荷載q0的外部虛功：

(3)

其中L為積分路徑：0≤x≤a，y=b/2。

均布荷載q′的外部虛功：

(4)

其中Ω為積分區(qū)域：0≤x≤a，0≤y≤b。

總外虛功為：

(5)

由虛功原理[5]可得：

(6)

令n=b/a，記K0=B0(n4+2n2+1)為四邊簡支雙向板的整體剛度特征系數(shù)，則

(7)

將式(7) 代入式(1)，得位移函數(shù)：

(8)

1.2 四邊固支板

四邊固支矩形鋼筋混凝土板的計(jì)算簡圖如圖2所示，板沿x、y方向的邊長分別為a、b，板厚h，在跨中(0≤x≤a，y=b/2)處作用有垂直于板面向下、大小為q0的線荷載。

設(shè)位移函數(shù)：

(9)

式中，D為待定位移系數(shù)。顯然，該函數(shù)滿足四邊固支板的邊界條件。

(10)

圖2 固支雙向板計(jì)算簡圖

考慮板面同時(shí)作用有線荷載q0和均布活荷載q′，則荷載總外虛功為：

(11)

由虛功原理可知：

(12)

令n=b/a，記K=B(3n4+2n2+3)為四邊固支雙向板的整體剛度特征系數(shù)，則

(13)

將式(13) 代入式(9)，得位移函數(shù)：

(14)

2 雙向板的抗彎剛度與撓度計(jì)算

我國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[6]中只給出了鋼筋混凝土單向受彎構(gòu)件的剛度計(jì)算公式，考慮雙向板雙向彎曲和受壓區(qū)混凝土雙向受壓的特點(diǎn)，本文根據(jù)張平生等人的研究結(jié)果[7～9]，在《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》的剛度計(jì)算公式中引入雙向板剛度特征系數(shù)φ，得到四邊簡支雙向板的短期抗彎剛度計(jì)算公式：

(15)

對四邊固支混凝土雙向板而言，在垂直于板面的豎向荷載作用下，支座截面承受負(fù)彎矩，跨中截面承受正彎矩。那么在計(jì)算撓度時(shí)應(yīng)根據(jù)哪一截面計(jì)算板的抗彎剛度是個(gè)不易確定的問題。因此，本文試圖根據(jù)四邊固支與四邊簡支的雙向板撓度之間的關(guān)系，建立四邊固支板的撓度計(jì)算方法。

點(diǎn)曲線的使用方式完全不同。我們可以在曲線的任意位置上單擊創(chuàng)建調(diào)整墊，并且隨心所欲拖動(dòng)；接著還可以繼續(xù)創(chuàng)造更多新的調(diào)整墊。但無論點(diǎn)曲線還是參數(shù)曲線，始終不變的是左下角對應(yīng)暗部，右上角對應(yīng)亮部。向上拖動(dòng)右側(cè)向下拖動(dòng)左側(cè)就能得到提高反差的S形曲線。

在相同荷載條件下，四邊固支與四邊簡支雙向板撓度之間的關(guān)系如圖3所示。f1為四邊固支板反彎點(diǎn)處的撓度，f2為彎點(diǎn)跡線所圍成的四邊簡支板的最大撓度。

圖3 四邊固支板跨中板帶的受力與變形

為簡化計(jì)算，假定f1沿反彎點(diǎn)跡線等值(事實(shí)上，f1在反彎點(diǎn)跡線所圍成的矩形角點(diǎn)處較小，矩形邊長中點(diǎn)處較大)。試算結(jié)果表明，由此引起的對整體撓度的誤差并不大。則四邊固支板的最大撓度為：

f=f1+f2

(16)

(17)

當(dāng)僅有均布荷載作用時(shí)，取π2≈10，則

(18)

對四邊簡支板

(19)

對四邊固支板

(20)

3 計(jì)算結(jié)果分析與比較

計(jì)算模型1采用邊長為 6000 mm、板厚130 mm的鋼筋混凝土方板，在跨中作用有與x軸平行的集中線荷載，板面均布荷載僅考慮板的自重?；炷翉?qiáng)度等級(jí)為C20，泊松比v=0.2，鋼筋為Ⅰ級(jí)，受拉鋼筋配筋率ρx=ρy=0.7%，四邊固支時(shí)支座負(fù)筋的配筋率為0.7%。在應(yīng)用ANSYS軟件進(jìn)行有限元分析時(shí)，采用分離式模型，混凝土單元選用Solid65，鋼筋單元選用Link8，混凝土的本構(gòu)關(guān)系為：

σ=fc[1-(1-εc/ε0)2]εc≤ε0；

σ=fcε0<εc≤εcu

式中，ε0=0.002，εcu=0.0033。

鋼筋的本構(gòu)關(guān)系為：σ=Esεs≤fy。

應(yīng)用本文公式和ANSYS軟件的計(jì)算結(jié)果如圖4、圖5所示，二者吻合較好。

圖4 四邊簡支板荷載—撓度曲線

圖5 四邊固支板荷載—撓度曲線

計(jì)算模型2為板跨中作用有線荷載8 kN/m(相應(yīng)于200 mm厚輕質(zhì)砌塊墻體自重)，n=0.6，材料強(qiáng)度、板厚及配筋同計(jì)算模型1，四邊固支時(shí)支座負(fù)筋的配筋率為0.7%。按本文公式得到的板跨中撓度與線荷載作用位置及板短邊尺寸的關(guān)系見圖6。線荷載沿板長跨方向布置，不同n值時(shí)板跨中撓度與板短邊尺寸的關(guān)系見圖7。

圖6 不同線荷載作用位置板的短邊尺寸—撓度曲線(n=0.6)

圖7 不同n值板的短邊尺寸—撓度曲線

計(jì)算模型3為板跨中作用有線荷載8 kN/m且沿板長跨方向布置，板長邊為 6000 mm，n=0.6，材料強(qiáng)度及配筋同計(jì)算模型2，按本文公式得到的板跨中撓度與板厚的關(guān)系見圖8。改變配筋率的大小可得板跨中撓度與配筋率的關(guān)系見圖9。

圖8 板厚—撓度曲線

圖9 板的配筋率—撓度曲線

混凝土板在長期荷載效應(yīng)作用下的撓度可利用式(15),按《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》的方法計(jì)算長期抗彎剛度，然后由式(17)～(20)計(jì)算長期撓度。

4 結(jié) 論

(1)本文研究了有線荷載作用的混凝土雙向板在正常使用階段的撓度計(jì)算方法，并根據(jù)相同荷載條件下四邊固支與四邊簡支板的撓度關(guān)系，導(dǎo)出了四邊固支板的抗彎剛度公式，反映了板的抗彎剛度的非線性特征。其計(jì)算結(jié)果與板的實(shí)際受力特性相符，且和大型商用軟件ANSYS的計(jì)算結(jié)果吻合較好。

(2)分析結(jié)果表明，板面線荷載的作用位置、雙向板的長短邊尺寸和板厚對板的撓度有較大影響；跨中線荷載沿板短跨方向布置時(shí)較為有利；板的撓度隨長短邊尺寸的增大而增大，且短邊相同時(shí)，短邊與長邊之比越小，撓度越大；板的撓度隨板厚的增大而顯著減小。

(3)當(dāng)ρx=ρy<0.5%時(shí)，配筋率對板的撓度有較大的影響；當(dāng)ρx=ρy≥0.5%時(shí)，配筋率對板的撓度的影響逐漸減小。

(4)在同等條件下，與四邊固支板相比，四邊簡支板的撓度相對較大，且對上述各參數(shù)變化的反應(yīng)更加敏感。

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