對(duì)中考中幾個(gè)亮點(diǎn)試題的賞析

?浙江省寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中學(xué) 杜開未

對(duì)中考中幾個(gè)亮點(diǎn)試題的賞析

?浙江省寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中學(xué) 杜開未

圖1－1

圖1－2

在每年中考試題中都能看到很多亮點(diǎn)試題，所謂亮點(diǎn)，應(yīng)具備：題新不怪、知識(shí)常用、視角新穎，方法直觀、由易至難、梯度合理，其最大的特色應(yīng)該是每個(gè)學(xué)生通過(guò)自己的努力都能有不同程度的收獲，有助于增強(qiáng)學(xué)生答題時(shí)的自信心，激發(fā)他們的斗志，便于盡情發(fā)揮.

一、在熟透知識(shí)中考查應(yīng)變能力——活用等底等高等面積

面積計(jì)算中的高、底是學(xué)生最熟悉不過(guò)的知識(shí)，面積的計(jì)算又是最簡(jiǎn)單的公式套用，因此對(duì)高、底、積常缺乏深入的拓展研究.活用面積公式中的等底等高等面積，在近幾年中考試題中是比較常見的，并且考查范圍也越來(lái)越廣泛.等底等高等面積的作圖考查，試題難度不高，卻突出了知識(shí)的基礎(chǔ)、創(chuàng)新、活用等特點(diǎn).

例1：（2008年福建省莆田市）某市要在一塊平行四邊形ABCD的空地上建造一個(gè)四邊形花園，要求花園所占面積是平行四邊形 ABCD面積的一半，并且四邊形花園的四個(gè)頂點(diǎn)作為出入口，要求分別在平行四邊形ABCD的四條邊上，請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種方案：

（1）如圖1－1所示，兩個(gè)出入口E、F已確定，請(qǐng)?jiān)趫D1-1上畫出符合要求的四邊形花園，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法；

（2）如圖1－2所示，一個(gè)出入口M已確定，請(qǐng)?jiān)趫D1-2上畫出符合要求的梯形花園，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法.

【評(píng)析】題意簡(jiǎn)明，但由于四邊形中兩個(gè)點(diǎn)的不確定性，給學(xué)生帶來(lái)許多遐想，關(guān)鍵看學(xué)生能否通過(guò)分析，聯(lián)想到平行線，等底等高等面積的思路.（如下頁(yè)左上圖）一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生畫出草圖后，對(duì)動(dòng)點(diǎn)G、H的位置分析，需建立在對(duì)平行線性質(zhì)及相關(guān)知識(shí)的熟悉程度，特別是平行四邊形與三角形的面積關(guān)系上.本題考查：①靈活構(gòu)造平行線，運(yùn)用平行線相關(guān)性質(zhì)；②活用面積公式中的等底等高等面積；③平行四邊形知識(shí)及平行四邊形與三角形面積關(guān)系.

作法：方案（1）：

畫法1：

①過(guò)F作FH∥AB交AD于點(diǎn)H.

②在DC上任取一點(diǎn)G連接EF、FG、GH、HE.則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形（下頁(yè)左上圖）；

畫法2：

①過(guò)F作FH∥AB交AD于點(diǎn)H.

②過(guò)E作EG∥AD交DC于點(diǎn)G，連接EF、FG、GH、HE.則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形（下圖）.

畫法3：

①在AD上取一點(diǎn)H，使DH＝CF.

②在CD上任取一點(diǎn)G連接EF、FG、GH、HE.則四邊形EFGH就是所要畫的四邊形（下圖）.

方案（2）：

畫法：①過(guò)M點(diǎn)作MP∥AB交AD于點(diǎn)P.

②在AB上取一點(diǎn)Q，連接PQ.

③過(guò)M作MN∥PQ交DC于點(diǎn)N，連接QM、PN、MN.則四邊形QMNP就是所要畫的四邊形（下圖）.

二、在學(xué)為所用中考查實(shí)用能力——定圓覆蓋定區(qū)域問(wèn)題

用圓面覆蓋一個(gè)特定的區(qū)域，在現(xiàn)代通訊設(shè)施中經(jīng)常用到，如在衛(wèi)星、手機(jī)信號(hào)發(fā)射塔等；這是近幾年中考中出現(xiàn)得比較新的問(wèn)題，往往會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)生活環(huán)境的再認(rèn)識(shí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)的再思考.由于圓心或半徑的不確定性，造成覆蓋區(qū)域的大小變化，解題時(shí)需增加動(dòng)態(tài)變化思考，抓住動(dòng)態(tài)中的規(guī)律是試題的主要思想.

例2：（2008年江蘇省無(wú)錫市）一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長(zhǎng)為30km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市.問(wèn)：（1）能否找到4個(gè)這樣的安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？（2）至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？

答題要求：請(qǐng)你在解答時(shí)，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由.（下面給出了幾個(gè)邊長(zhǎng)為30km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用.）

【評(píng)析】覆蓋問(wèn)題是圓結(jié)合其他幾何知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用的另一方式，在競(jìng)賽題中出現(xiàn)比較多.只要關(guān)注定圓覆蓋的最大、最小區(qū)域，或覆蓋中的最大、最小圓半徑即可解決問(wèn)題，其所用到的知識(shí)也只是圓的概念、勾股定理等一些基本計(jì)算問(wèn)題.思維過(guò)程不復(fù)雜，就是看能不能分析、思考到位，這是思維縝密性程度的問(wèn)題.本題是一個(gè)圓覆蓋正方形的問(wèn)題，顯然重點(diǎn)在于找出圓心所在位置.由題意可以得到正方形對(duì)角線長(zhǎng)度為≈42.42＜62，故對(duì)問(wèn)（1），安裝4個(gè)，答案有多種，如圖2-2，①可先把大正方形分割成4個(gè)全等的小正方形，然后安裝在4個(gè)小正方形的對(duì)角線交點(diǎn)上.②4個(gè)點(diǎn)設(shè)在大正方形各邊的中點(diǎn)也可以.對(duì)問(wèn)（2），因?yàn)椋?1，故一個(gè)安裝點(diǎn)不能覆蓋大正方形，可以知道一個(gè)安裝點(diǎn)必須安在正方形一邊的中垂線上，其覆蓋的最大區(qū)域是一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為31km矩形，此時(shí)矩形的寬為≈7.810，顯然＜30，可知安裝兩個(gè)點(diǎn)也不夠.如圖2-3，分割大正方形，取EF中點(diǎn)O，當(dāng)AE=時(shí)，DE=30-，OD＝≈26.78＜31，顯然至少要安裝3個(gè)才能覆蓋.

三、在數(shù)學(xué)文化中考查數(shù)學(xué)思想——圓球二積的轉(zhuǎn)化運(yùn)算

對(duì)圓面積、球體積的公式運(yùn)算，那是最為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，然而在中國(guó)數(shù)學(xué)文化中，有許多數(shù)學(xué)家在解決數(shù)學(xué)事件中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想?yún)s是讓人贊嘆不絕的，這類問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的解題熱情，對(duì)學(xué)生的思想起著積極的推動(dòng)作用.

四、在新定義型試題中考查新思想——旋轉(zhuǎn)和相似結(jié)合思想

新定義型試題往往給出一個(gè)新概念、新名稱，以運(yùn)算形式、幾何證明、函數(shù)等形式出現(xiàn)，考查學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)，以最快的速度理解、接受并運(yùn)用新知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題.新定義試題除了一般優(yōu)點(diǎn)之外，同時(shí)還注入新的數(shù)學(xué)思想方法.一方面是體現(xiàn)了新定義型試題結(jié)構(gòu)、命題思想日趨成熟，另一方面也是對(duì)學(xué)生知識(shí)方法的滲透.

例4：（2007年江蘇省南京市）在平面內(nèi)，先將1個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'在線段OP或其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過(guò)放縮和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角.

（1）填空：①如圖4-1，將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來(lái)的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（____，_____）；

②如圖4-2，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，則線段BD的長(zhǎng)為_____cm；

（2）如圖4-3，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，點(diǎn)O1，O2，O3分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用△AO1O3與△ABI，△CIB與△CAO2之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說(shuō)明線段O1O3與AO2之間的關(guān)系.

【評(píng)析】往常在幾何推理中總是把旋轉(zhuǎn)和相似分步解決.本題把旋轉(zhuǎn)和相似結(jié)合起來(lái)，形成一種新的圖形變換形式，對(duì)學(xué)生在幾何思維方面有較大的幫助.通過(guò)（1）的簡(jiǎn)單應(yīng)用，在（2）中得到升華：介紹了一種同時(shí)能證明線段相等、垂直關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，用旋轉(zhuǎn)相似組合變換思想，同時(shí)把相似三角形之間邊之間的數(shù)量關(guān)系和角度關(guān)系同時(shí)說(shuō)明，顯得說(shuō)理過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，不像在平時(shí)學(xué)習(xí)中把邊的數(shù)量關(guān)系和邊的位置關(guān)系分開說(shuō)理那樣復(fù)雜，這是一種很好的說(shuō)理方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以作為以后解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種思想方法.問(wèn)（2）思路分析：因△AO1O3∽△ABI,可理解△AO1O3放大，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△ABI，即線段O1O3放大倍后，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到BI；同理可理解BI放大，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到AO2，因此O1O3=AO2，O1O3⊥AO2

簡(jiǎn)解：（1）①2，60°；②2.

五、在實(shí)際問(wèn)題中考查尺規(guī)作圖——尺規(guī)劃分的奧運(yùn)場(chǎng)館

尺規(guī)作圖主要是考查常規(guī)作圖技能，有時(shí)還需要簡(jiǎn)單的幾何推理作輔助，對(duì)目標(biāo)圖形進(jìn)行作圖原理分析、作圖方法探索.雖然題目要求比單純的技能操作上了一個(gè)檔次，但這充分顯示了尺規(guī)作圖的本質(zhì)含義.本例技能與推理相結(jié)合，實(shí)踐應(yīng)用性強(qiáng)，問(wèn)題簡(jiǎn)明，思考角度直接，突出了尺規(guī)作圖本質(zhì)與實(shí)際的意義.

例5：（2008年浙江省麗水市）如圖5-1是2008年北京奧運(yùn)會(huì)某比賽場(chǎng)館的平面圖，根據(jù)距離比賽場(chǎng)地的遠(yuǎn)近和視角的不同，將觀賽場(chǎng)地劃分成A、B、C三個(gè)不同的票價(jià)區(qū).其中與場(chǎng)地邊緣MN的視角大于或等于45°，并且距場(chǎng)地邊緣MN的距離不超過(guò)30米的區(qū)域劃分為A票區(qū)，B票區(qū)如圖所示，剩下的為C票區(qū).

（1）請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖，在觀賽場(chǎng)地中，作出A票區(qū)所在的區(qū)域（只要求作出圖形，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）如果每個(gè)座位所占的平均面積是0.8平方米，請(qǐng)估算A票區(qū)有多少個(gè)座位.

【評(píng)析】結(jié)合了奧運(yùn)場(chǎng)館票區(qū)的劃分、視角的特征，比單純地說(shuō)明圓周角，顯得更有創(chuàng)意，更有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.本題考查的只是尺規(guī)作圖與圓周角概念的有效結(jié)合及簡(jiǎn)單的面積計(jì)算.

作法：（1）如圖5-2，作線段MN的中垂線交MN為點(diǎn)G，取GO等于MG，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)M為半徑畫圓弧交虛線（與場(chǎng)地邊緣MN相距30米）為點(diǎn)E、F，則EF與所圍成的區(qū)域就是A票區(qū).

（2）連接OM、ON、OE、OF，設(shè)MN的中垂線與EF交于H.由題意得∠MON=90°.

六、對(duì)亮點(diǎn)試題的新認(rèn)識(shí)

1.亮點(diǎn)試題的價(jià)值.

讓更多的人知道中考只是考查基本知識(shí)、基本技能、基本思想.中考復(fù)習(xí)時(shí)間的比例應(yīng)側(cè)重于基礎(chǔ)知識(shí)、技能的訓(xùn)練，重視解題思想、解題方法的研究與運(yùn)用，不必為獲取高分走解難題、怪題的路.重視多變的教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生多多合作交流，交流多角度的思維方式、多元的解決問(wèn)題方法，達(dá)到共同提高能力的目的.

2.亮點(diǎn)試題的來(lái)源.

試題往往來(lái)源于：學(xué)生易錯(cuò)的題型，師生都不太重視的“熟悉”題型，常用知識(shí)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的換臉題型，數(shù)學(xué)方法在新環(huán)境中的運(yùn)用題型，等等；而要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別解決問(wèn)題的能力，筆者認(rèn)為在抓好“三基”的同時(shí)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在合作中互相編制題目考查對(duì)方，在日常生活中能從數(shù)學(xué)角度看問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探討問(wèn)題、解決問(wèn)題.當(dāng)然作為教師在關(guān)注學(xué)生的全程學(xué)習(xí)水平外，還要用不同的精制題型以及自編的新題型撞擊學(xué)生的“軟肋”.特別是教師自編題型往往來(lái)源于學(xué)生的平時(shí)薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生的教學(xué)效果會(huì)有更好一些.

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?編輯/張燁