模糊軟半環(huán)

吳華軍，詹建明

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

把模糊理論運(yùn)用到環(huán)上，形成了環(huán)的模糊理論，其中環(huán)的模糊子環(huán)、模糊理想等作為基本概念之一早已被提出并得到較深入的研究.隨后，模糊環(huán)的模糊子環(huán)、模糊理想概念也被提出[1].近來，研究人員把軟集理論運(yùn)用到環(huán)中，建立了軟環(huán)理論，得到了一些很有價(jià)值的結(jié)論.在此基礎(chǔ)之上，有人提出了模糊軟集的概念[2]，并且被運(yùn)用到越來越多的代數(shù)領(lǐng)域里面[3].半環(huán)是環(huán)的概念的推廣,關(guān)于半環(huán)研究的文獻(xiàn)已有很多,模糊理論和軟集運(yùn)用到半環(huán)上,得到了很多有價(jià)值的結(jié)果[4-6].本文是把模糊軟集理論運(yùn)用到半環(huán)上，提出模糊軟半環(huán)的概念，并研究它的一些基本性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是非空集合,I=[0,1],IS表示S上所有模糊集族,設(shè)F∈IS,稱S的子集{x∈S:F(x)>0}為F的支集,記為suppF.除非特別說明，本文中的S均代表半環(huán).

設(shè)S是半環(huán),F∈IS，若?x,y∈suppF,滿足:①F(x+y)≥min{F(x),F(y)}；②F(xy)≥min{F(x),F(y)},則稱F為S的模糊子半環(huán).

設(shè)S是半環(huán),F∈IS,若?x,y∈suppF,滿足:①F(x+y)≥min{F(x),F(y)};②F(xy)≥F(y)(F(x)).則稱F為S的模糊左(右)理想.若F同時(shí)為S的模糊左理想和模糊右理想,則稱F為S的模糊理想.

定義1[7]給定一個(gè)序?qū)?F,A)和集合U,其中A是參數(shù)集,F是A到U的冪集P(U)的一個(gè)映射,則稱(F,A)是U上的一個(gè)軟集.

定義2[2]給定一個(gè)序?qū)?F,A)和集合U,其中A是參數(shù)集,記P(U)為U的所有模糊集構(gòu)成的集合.給定一個(gè)序?qū)?F,A),F是A到U的P(U)的一個(gè)映射,則稱(F,A)為U上的一個(gè)模糊軟集.

定義6[2]給定U上的兩個(gè)模糊軟集(F,A)和(G,B)，若存在模糊軟集(H,C)使得C=A∩B,且?e∈C，有H(e)=F[e]或G[e],則稱(H,C)為(F,A)與(G,B)的交集.

定義7 設(shè)F,G是S的兩個(gè)模糊子半環(huán),若G?F,則稱G為F的模糊子半環(huán),記為G

定義8 設(shè)G

2 主要結(jié)果

定義1 設(shè)(F,A)是S上的一個(gè)模糊軟集,如果?u∈A,都有F[u]是S的模糊子半環(huán)則，稱(F,A)是S的模糊軟半環(huán).

min{min{F[u](x),F[u](y)},min{G[v](x),G[v](y)}=

min{min{F[u](x),G[v](x)},min{F[u](y),G[v](y)}}=

min{H[u,v](x),H[u,v](y)}.

min{min{F[u](x),F[u](y)},min{G[v](x),G[v](y)}=

min{min{F[u](x),G[v](x)},min{F[u](y),G[v](y)}}=

min{H[u,v](x),H[u,v](y)},即證.

定義2 設(shè)(F,A)是S上的一個(gè)模糊軟集,如果?u∈A,都有F(u)是S的模糊理想,則稱(F,A)是S的模糊軟理想.

根據(jù)定理1的證明過程可知:

?x,y∈S，H[u,v](x+y)≥min{H[u,v](x),H[u,v](y)}，

因此只需證:

H[u,v](xy)≥H[u,v](y)(H[u,v](x)).

因?yàn)?F,A)和(G,B)是半環(huán)S上的模糊軟理想,故：

min{F[u](y),G[v])(y)}(min{F[u](x),G[v])(x)})=

H[u,v](y)(H[u,v](x)).即證.

證明與定理2的證明類似.

證明與定理3的證明類似.

定義3 設(shè)(F,A)和(G,B)是半環(huán)S上的模糊軟半環(huán),如果滿足以下條件:

(i)B?A;

(ii)對(duì)?u∈B,G[u]

定理9 設(shè)(F,A),(G,B)和(H,C)是S上的模糊軟半環(huán),若(F,A)是(G,B)的模糊軟子半環(huán),(G,B)是(H,C)的模糊軟子半環(huán),則(F,A)是(H,C)的模糊軟子半環(huán).

證明由已知條件得A?B,B?C,從而A?C,且?u∈A,F[u]

證明證略.

定義4 設(shè)(F,A)和(G,B)是S上的模糊軟半環(huán)，如果滿足以下條件:

(1)B?A；

[1] 譚宜家.Fuzzy環(huán)中的Fuzzy理想與Fuzzy商環(huán)[J].福州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1995,23(3):14-18.

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