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    關(guān)于Lp-矩體的Jensen型不等式

    2010-01-18 02:24:37朱保成
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積非對(duì)稱原點(diǎn)

    李 妮,朱保成

    (重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,重慶 400047)

    1 基本定義

    h(K,x)=max{x·y∶y∈K},x∈Rn,

    其中x·y是Rn中通常的內(nèi)積.

    在Rn中,一個(gè)緊的星形(包含原點(diǎn))的徑向函數(shù),ρκ=ρ(K,·):定義為:

    ρ(K,x)=max{λ≥0∶λx∈K},x∈Rn(〗0}

    在Rn中,凸體K的極體[1~3],定義為K*={x∶x·y≤1,y∈K}對(duì)于凸體K的極體有如下的性質(zhì),

    (1)

    假設(shè)p≠0,μ是一個(gè)集合X上的有限Borel測(cè)度,f是集x上的非負(fù)片μ-可積函數(shù),則f的p次平均Mpf定義為:

    關(guān)于f的p次平均Mpf,有如下著名的Jensen不等式[9]:如果p≤q且Mpf存在,則:

    Mpf≤Mqf,

    (2)

    等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f是一個(gè)常數(shù)或p=q.

    2 主要結(jié)果

    Haberl和Schuster在文獻(xiàn)[8]中定義了非對(duì)稱情形的Lp-矩ΨpL如下:如果L為Rn中關(guān)于原點(diǎn)的星體,將非對(duì)稱情形的Lp-矩體ΨpL的支撐函數(shù)定義為?u∈Sn-1,

    (3)

    其中u·x是Rn中標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)積,cn,p為:

    (4)

    這里的cn,p的選取,是為了將ΨpL標(biāo)準(zhǔn)化,即對(duì)Rn中的標(biāo)準(zhǔn)單位球B,有ΨpB=B.因?yàn)樵谖墨I(xiàn)[6,8]中的不等式對(duì)于p=1時(shí)仍然進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化討論,并且Lp-矩體與Lp-質(zhì)心體一致的可標(biāo)準(zhǔn)化,所以將討論對(duì)于p≥1時(shí)的Lp-矩體.根據(jù)非對(duì)稱情形Lp-矩體ΨpL的定義,很容易驗(yàn)證式(3)有邊的表達(dá)式是一個(gè)連續(xù)的次線性函數(shù),因此它可以作為一個(gè)凸體的支撐函數(shù),所以非對(duì)稱情形的Lp-矩體ΨpL是凸體.

    根據(jù)非對(duì)稱情形的Lp-矩體ΨpL獲得了關(guān)于ΨpL的Jensen不等式.

    (5)

    等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.

    證明當(dāng)1≤p≤q<∞時(shí),利用式(3)和Jensen不等式(1.2),知道:?u∈Sn-1,有:

    等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.證畢.

    同時(shí),Haberl和Schuster在文獻(xiàn)[8]中還定義了對(duì)稱的Lp-矩體MpL如下,如果L為Rn申關(guān)于原點(diǎn)的星體,將Lp-矩體嶼L定義為:

    (6)

    其中u·x是Rn中標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)積,這里cn,p的選取同式(4),是為了將MpL標(biāo)準(zhǔn)化,即對(duì)Rn申的標(biāo)準(zhǔn)單位球B,有MpB=B.根據(jù)定義,很容易知道Lp-矩體MpL是凸體.

    本文根據(jù)對(duì)稱的Lp-矩體MpL的極體還獲得了關(guān)于它的Jensen不等式.

    (7)

    等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.

    證明當(dāng)1≤p≤q>∞時(shí),利用式(6)和Jensen不等式(1.2),知道:?u∈Sn-1,有:

    在上述不等式中,由于|u·x|(u∈Sn-1,x∈K)不可能為常數(shù),于是根據(jù)Jensen不等式(1.2)取等號(hào)成立的條件知,上述不等式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)p=q.由此得:

    等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)p=q.證畢.

    [1]Gardner R J.Geometric Tomography[M].Cambridge:Cambridge University Press,1995.

    [2]Gardner R J.Geometric Tomography(2ed)[M].Cambridge:Cambridge University Press,2006.

    [3]Schneider R.Convex Bodies:The Brunn-Minkowski theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,1993.

    [4]Lutwak E.The Brunn-Minkowski-Firey I: mixed volumes and the Minkowski problem[J].J Differential Geom,1993,38:131-150.

    [5]Lutwak E.The Brunn-Minkowski-Firey II: Affine and Geominimal Surface Areas[J].Adv Math,1996,118:244-294.

    [6]Lutwak E,Yang D,Zhang G.Lp affine isoperimetric inequalities[J].J Differential Geom,2000,56(1):111-132.

    [7]Burago Y D,Zalgaller V A.Germetric Inequalities[M].New York:Springer,1988.

    [8]Haberl C,Schuster F E.Schuster.GeneralLp-affne isoperimetric inequalities[EB/OL].1983[2008-09-11]arXiv:Math.DG/0809.

    [9]Hardy G H,Littlewood J E,Pólya G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge University Press,1959.

    [10]W J. Firey p-means of convex bodies[J].Math Scand,1962,10:17-24.

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