Neumann邊條件下薛定諤算子前兩個(gè)特征值間距的估計(jì)

周 敏,向會(huì)立

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

在薛定諤方程中特征值對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的能量，薛定諤算子第二特征值與第一特征值的差對(duì)應(yīng)于離子從第一能級(jí)躍遷到第二能級(jí)所需吸收的能量，因此在數(shù)學(xué)上求出薛定諤方程的特征值是十分有意義的事情，但一般來(lái)講，由于數(shù)學(xué)上的原因，特征值的確切解很難求出，因此只好退而求其次，給出特征值之間間距的估計(jì).在勢(shì)函數(shù)為特殊函數(shù)情形行下對(duì)薛定諤算子前兩個(gè)特征值估計(jì)見(jiàn)文獻(xiàn)[1～5],對(duì)于Dirichlet邊條件下薛定諤算子第二特征值與第一特征值的差文獻(xiàn)[3]已給出了相應(yīng)估計(jì)，本文討論了Neumann邊條件下薛定諤算子前兩個(gè)特征值間距的估計(jì).

定義1 稱(chēng)下有界函數(shù)v為區(qū)間[0,π]上的單阱函數(shù)，若v在[0,π/2]上單調(diào)遞減，在[π/2,π]上單調(diào)遞增.記所有單阱函數(shù)全體構(gòu)成的集合為SW.

定義2 考慮S-L問(wèn)題:

(1)

本文結(jié)論：S-L問(wèn)題:

(2)

在SW中的最優(yōu)勢(shì)函數(shù)為常函數(shù)C,且有:

引理1[1]設(shè)λn(t)為S-L問(wèn)題(1)的第n個(gè)特征值，un(x,t)為對(duì)應(yīng)的第n個(gè)歸一化特征函數(shù)，則有:

定義3 由引理4可將勢(shì)函數(shù)v分成如下兩類(lèi)：

引理5 設(shè)u1(x)，u2(x)為：S-L問(wèn)題(2)的第一，第二歸一化特征函數(shù)，則:

(1)若v為第一類(lèi)勢(shì)函數(shù)，則存在x+，x-滿(mǎn)足0≤x-

(2)若v為第二類(lèi)勢(shì)函數(shù)，則只有以下兩類(lèi)情況:

(i)?x*∈(0,π)使得:

(ii)?x*∈(0,π)使得:

引理6[1]設(shè)λ1(t)，λ2(t) 為S-L問(wèn)題(2)的第一，第二特征值，則:

且:

引理7 定義AM={v:0≤v≤M,v∈SW}則AM?SW且AM為凸集.

證明由AM的定義AM?SW是顯然的.下證AM為凸集.

?v1,v2∈AM及?t∈[0,1]有0≤tv1+(1-t)v2≤M又tv1∈SW,(1-t)v2∈SW故tv1+(1-t)v2∈SW,故tv1+(1-t)v2∈AM即AM為凸集.

定理1 設(shè)λ1(v)，λ2(v)為S-L問(wèn)題.

(其中v(x)∈AM)的第一，第二特征值，G(v)=λ2(v)-λ1(v)則S-L問(wèn)題(2)在AM中的最優(yōu)勢(shì)函數(shù)為常函數(shù)C,且有:

證明由文獻(xiàn)[1]知，在AM中S-L問(wèn)題(2)的最優(yōu)勢(shì)函數(shù)存在這里記為v0，下面分兩種情形來(lái)確定v0的具體形式：

(1)v0為第一類(lèi)勢(shì)函數(shù)的情形：

由引理5知，存在x+，x-滿(mǎn)足0≤x-

(3)

①x-≤π/2

(4)

由式(3)，(4)知上述不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)v1(x)=v0(x)，從而v0(x)必為如下形式的階梯函數(shù)：

②π/2

同情形①一樣可以證明：v1(x)=v0(x).

其中0≤m1≤M,0≤m2≤M.

(2)v0為第二類(lèi)勢(shì)函數(shù)的情形：

此時(shí)同情形①一樣，可以證明當(dāng)M≥1時(shí)v0(x)必為如下形式的階梯函數(shù)：

其中0≤n1≤M,0≤n2≤M.

綜合情形①和情形②可得只要v0(x)為最優(yōu)勢(shì)函數(shù)則其必為如下形式的階梯函數(shù)：

其中0≤m≤M,0≤n≤M.

(5)

下面進(jìn)一步來(lái)確定v0(x)的形式，證明m=n，從而說(shuō)明最優(yōu)勢(shì)函數(shù)v0(x)只肯能為常函數(shù).事實(shí)上，當(dāng)v0(x)為式(5)的形式時(shí)，S-L問(wèn)題(2)的特征函數(shù)可表示為：

(6)

因?yàn)閥(x)為S-L問(wèn)題(2)的特征函數(shù)，故必須適當(dāng)選取c,d的值，使得y,y'∈AC[0,π]即:

(7)

此時(shí)一方面將方程組(7)看作關(guān)于λ的方程組則其非負(fù)實(shí)解對(duì)應(yīng)于S-L問(wèn)題(2)的所有特征值，另一方面方程組(7)與方程:

(8)

同解，對(duì)方程(8)作變換t=λ-m得到方程:

(9)

[1]Miklos Horvath.On the first two eigenvalues of Sturm-Liouville operators[J].proceedings,2003,131(4):1 215-1 224.

[2]向會(huì)立.Sturmm-Liouville問(wèn)題前兩個(gè)特征值間距的估計(jì)[J].湖北民學(xué)院學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,25(2):148-150.

[3]Richard Lavine. The eigenvalue gap for one-dimensional convex potentials[J].Proceedings of the American mathematical Society,1994,121(3):895-902.

[4]Richard Lavine. The eigenvalues gap for one dimensional convex potentials Proceeding[J].2003,124(4):815-821.

[5]Kobayashi M. Eigenvalues of discontinuous Sturm-Liouville problems With symmetric potentials[J].Computers Math Applic,1989,18(4):357-364.

[6]周敏.一類(lèi)與算子譜對(duì)應(yīng)的方程解得性質(zhì)研究[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009，27(4)：391-393.