一種新的Multiquadric 擬插值

陳榮華 ， 韓旭里， 吳宗敏

（1. 湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201； 2. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計算技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410083；3. 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200433）

Multiquadric (MQ)是Hardy 于1968 年提出來的一種徑向基函數(shù)(radial basis function)[1]。Hardy的一篇關(guān)于MQ 的論文[2]于1971 年發(fā)表后，MQ逐漸引起各國專家學(xué)者的研究興趣，到1988 年，MQ 已經(jīng)在大地測量學(xué)(geodesy)、地球物理學(xué)(geophysics)、測繪學(xué)(surveying and mapping)、攝影測量學(xué)(photogrammetry)、遙感與信號處理(remote sensing and signal processing)、地理學(xué)(geography)、地質(zhì)與采礦(geology and mining)、數(shù)字地形模型(digital terrain models)以及水文學(xué)(hydrology)等諸方面都得到了應(yīng)用[1]。自從Hardy[1]及Kansa[3-4]的綜述性文章發(fā)表后，越來越多的專家學(xué)者對MQ 進(jìn)行了深入細(xì)致的理論研究和范圍廣泛的實際應(yīng)用，出現(xiàn)了許多關(guān)于MQ 的理論和應(yīng)用的論文。

Franke 在其評論文章[5]中指出：就精度 (accuracy)、穩(wěn)定性(stability)、有效性 (efficiency)、內(nèi)存需要(memory requirement) 和易于實現(xiàn)(ease to implementation) 而言，MQ 在所有29 種散亂數(shù)據(jù)插值格式中首屈一指。

應(yīng)用MQ 求解微分方程的文章也很多，如Wu 用MQ 擬插值求解雙曲型(hyperbolic)方程[6]，Hon和Mao用MQ 求解拋物型(parabolic)方程[7]，F(xiàn)edoseyev、Friedman 和Kansa 用MQ 求解橢圓型(elliptic)方程[8]都取得了很好的結(jié)果。

MQ 擬插值目前已知的有4 種，即，Beatson 和Powell 的LA、LB和 LC[9]以及Wu 和Schaback的 LD[10]。

本文給出了一種新的MQ 擬插值，分析了其具有的性質(zhì)以及其逼近度。根據(jù)本文給出的數(shù)值實驗可知，該擬插值確實具有良好的逼近精度和保形性。此外，它還至少可用于求解雙曲型和拋物型方程，關(guān)于這一部分內(nèi)容將在以后的論文中介紹。

1 Multiquadric 擬插值的構(gòu)造及其性質(zhì)

Beatson 和Powell 于1992 年提出了3 種Multiquadric (MQ)擬插值，即 LA、 LB和 LC，并給出了它們的逼近階[9]。其中，LB是常數(shù)再生的，LC是線性再生的；而 LA不是常數(shù)再生的，LB不是線性再生的。

Wu 和Schaback 指出AL 和BL 不具備保線性性和保凸性，證明了CL 具備保線性性和保凸性， 構(gòu)造了另一類具備保線性性和保凸性的MQ 擬 插值DL ，并給出了其逼近階[10]。

由于DL 的逼近精度不比CL 的逼近精度低，而且，在構(gòu)造DL 時不需要給定端點處的一階導(dǎo)數(shù)而在構(gòu)造CL 時卻要給定端點處的一階導(dǎo)數(shù)，所以，從構(gòu)造擬插值需要條件的多少來衡量，DL明顯優(yōu)于CL 。

這里 ψj(x), j = 0, 1,…,n是某些選定的函數(shù)。

在構(gòu)造擬插值之前，先給出幾個定義：定義1 若擬插值 )(* xf 具有性質(zhì)

其中 C 是任意給定的常數(shù)，則稱該擬插值在[ x0,xn]上是常數(shù)再生的(constant reproducing)。

定義2 對任何 ,p q R∈ ，當(dāng) qpxxf +=)( 時，擬插值 )(* xf 滿足 qpxxf +=)(*，則稱該擬插值在[ x0,xn]上具有線性再生性(linear reproducing)。

由以上定義可知，具有線性再生性的擬插值必定是常數(shù)再生的。

定義3 對于單調(diào)增加（減少）的數(shù)據(jù)jf , j = 0, 1,…,n ，如果擬插值 f*(x)是單調(diào)增加（減少）函數(shù)，則稱該擬插值在 ],[0nxx 上具有保 單調(diào)性(preserving monotonicity)。

取如下形式的ψj(x)

得到擬插值 f*(x)具有以下性質(zhì)。

定理1若取 則由式(1)、式(3)定義的擬插值 )(* xf 在 ],[0nxx 上具有線性再生性，而且， )(* xf 在 ],[0nxx 上可改寫為如下3 種等價的形式

此外，在 ],[0nxx 上，有

及

而且，更一般地，有

證 明首先，由式(1)及式(3)可得

再由式(4)及式(6)可知式(8)成立。通過計算不難發(fā)現(xiàn)式(7)、式(8)與式(9)三者等價。對式(8)兩邊關(guān)于x 求一階、二階和k 階導(dǎo)數(shù)，就分別得到式(10)、式(11)及式(12)。要證明線性再生性，只要證明

及

由式(9)易知式(13)成立，由式(9)及式(5)可知式(14)成立。定理證畢。

注1由上述定理的證明過程可以看出，式(7)～式(12)及常數(shù)再生性成立，不需要式(5)成立這一條件。

定義4由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)、式(6)及下式

定義的擬插值就是在本文中定義的新的MQ 擬插值。

由上述定義得到的MQ 擬插值具有如下性質(zhì)：

定理 2由定義4 得到的MQ 擬插值 f*(x)在 [ x0,xn]上具有線性再生性、保單調(diào)性，并且，在 [ x0,xn]上有式(7)～式(12)成立。

證 明由定理1，只要證明由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)、式(6)及式(15)定義的MQ 擬插值 f*(x)在 [ x0,xn]上具有保單調(diào)性就可以了。Wu 和Schaback[10]已經(jīng)證明了。

對j =1,…, n ?1, 有 ?1 ≤ φ ′j( x) ≤φ ′j?1( x) ≤1而由式(5)，有

因而

對j = 0, 1,…, n ?1, 都有φ ′j( x) ?φ ′j+1( x) ≥ 0

最后，由式(10)就完成了定理的證明。

則 對 任 何 實 數(shù) c ＞ 0, x∈[x0,xn]及 函 數(shù)f ( x)∈ C2(x0,xn)，由定義4 得到的MQ 擬插值f*(x)滿足

其中

k0, k1,k2,k3是不依賴于h 和c 的常數(shù)。

證 明由式(9)，有 其中1Δ 及2Δ 分別為一階和二階差商算子，由f ( x)∈ C2(x0,xn)可知，上述一階和二階差商都是有界的。若用 )(xL 表示關(guān)于 )(xf 的與 )(* xf 具有 相同已知數(shù)據(jù)的分段線性插值，則

其中

于是

Wu 和Schaback 在文獻(xiàn)[10]中給出了

及

因此，又有

于是，式(16)成立。

注2定理3 的證明中利用了如下結(jié)論：當(dāng) x∈ [ x0,xn]時，有

2 算 例

考慮對函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間 [0, 2π]上的MQ 擬插值。

圖1 h = 時MQ 擬插值的計算結(jié)果

圖2 h =時MQ 擬插值的計算結(jié)果

此外，就函數(shù)f(x)= cos(x)在區(qū)間 [0,2π]上的MQ 擬插值進(jìn)行了類似的數(shù)值實驗，得到的結(jié)論與上述結(jié)論類似，相應(yīng)的誤差向量的無窮范數(shù)分別 為 0.021854, 0.0054496, 5. 3476× 10?5和2. 7685× 10?5。

3 結(jié) 論

通過分析發(fā)現(xiàn)：由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)及式(6)定義的擬插值在所討論的區(qū)間上具有線性再生性，且式(7)～式(12)成立。由上述定義的擬插值若還滿足式(15)，那么它就是本文所介紹的一種新的MQ 擬插值，它除了具有上述擬插值所具有的性質(zhì)外，還具有保單調(diào)性，而且其逼近誤差可用式(16)來估計。

數(shù)值實驗的結(jié)果證實了該擬插值確實具有良好的逼近精度和保形性。

[1] Hardy R L. Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of discovery 1968-1988 [J]. Computers Math. Appl., 1990, 19(8/9)： 163-208.

[2] Hardy R L. Multiquadric equations of topography and otherirregular surfaces [J]. Geophysical Res., 1971, 76： 1905-1915.

[3] Kansa E J. Multiquadric-a scattered data approximation schemewith applications to computational fluid dynamics, Ⅰ, Surface approximations and partial derivative estimates [J]. Computers Math. Appl., 1990, 19(8/9)： 127-145.

[4] Kansa E J. Multiquadric-a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid dynamics, Ⅱ, solution to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations [J]. Computers Math. Appl., 1990, 19(8/9)： 147-161.

[5] Franke R. Scattered data interpolation： test of some methods [J]. Math. Comput., 1982, 38： 181-200.

[6] Wu Z M. Dynamically knots setting in meshless method for solving time dependent propagations equation [J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2004, 193： 1221-1229.

[7] Hon Y C, Mao X Z. An efficient numerical scheme for Burgers' equation [J]. Appl. Math. Comput., 1998, 95： 37-50.

[8] Fedoseyev A I, Friedman M J, Kansa E J. Improved multiquadric method for elliptic partial differential equations via PDE collocation on the boundary [J]. Computers Math. Appl., 2002, 43： 439-455.

[9] Beatson R K, Powell M J D. Univariate multiquadric approximation： quasi-interpolation to scattered data [J]. Constructive Approximation, 1992, 8： 275-288.

[10] Wu Z M, Schaback R. Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation [J]. ACTA Math. Appl. Sinica, 1994, 10(4)： 441-446.