兩體斜碰中的“Δｔ_ｆ≤Δｔ_Ｎ”現(xiàn)象

楊榕楠

兩個物體發(fā)生斜碰時會產(chǎn)生切向的靜摩擦力或滑動摩擦力f，當f與法向的作用力N在數(shù)量級上相差不大時，其作用便不可忽略。如果將f的作用時間記為Δt，N的存在時間記為Δt，則Δt不能大于Δt，因為兩物體一旦分離彈力N=0，f就不存在了。f的作用會使碰撞的兩個物體的切向相對速度減小。如果在碰撞分離前物體間一直有切向的相對速度，則Δt=Δt；如果在Δt結(jié)束之前，兩者的切向相對速度已減為零，則f立刻消失，就有Δt＜Δt，這就是f、N作用時間不匹配的情況。因此在兩個物體發(fā)生斜碰時就有一類Δt≤Δt的現(xiàn)象，下面分別舉例說明。

一、Δt=Δt的情形

例1如圖1所示，軍訓中戰(zhàn)士在距墻s0處以速度v0起跳，再用腳蹬墻面一次，使身體變?yōu)樨Q直向上的運動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為μ，求能使人體重心升高最大的起跳角θ。

解析人以θ角起跳后做斜上拋運動，設(shè)人運動到墻面處的時間為t，豎直方向的速度為v，則有

s=vcosθ?t，v=vsinθ－gt

此時的重心高度為

h=vsinθ?t－gt2=stanθ－g2。

腳蹬墻面時，墻對人的彈力的沖量使人的水平速度減為零，同時摩擦力的沖量使人（質(zhì)量設(shè)為M）豎直方向的動量增加，由動量定理得

N?Δt=Mvcosθ，

μN?Δt=Mv′－Mv。

人腳蹬墻面過程中有Δt=Δt，蹬墻后人以v′y為初速度繼續(xù)升高h，有h=。

由以上各式可求得人體重心上升的總高度h=h+h=（μcosθ+sinθ）2－μs。故當θ=arctan時，重心上升的總高度最大。

二、Δt<Δt的情形

例2一袋面粉沿著與水平面成α=60°角的光滑斜面，從高H處無初速地滑下，落到水平地板上。袋與地板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.7，問袋停在何處？

解析當袋滑到斜面末端時具有一定的沿斜面方向的速度。由于袋與地板碰撞時不會彈起，這意味著在地板支持力的作用下袋的豎直分動量變?yōu)榱?，同時水平方向袋受到摩擦力的沖量使得袋的水平速度減小。袋與地板碰撞的時間極短，在豎直方向利用動量定理時可以忽略面粉袋自重產(chǎn)生的沖量，即有

N?Δt=mvsinα

假設(shè)Δt=Δt，則在水平方向上摩擦力產(chǎn)生的沖量為

f?Δt=μN?Δt=μmvsinα≈0.61mv

而袋的水平方向動量為p=mvcosα=0.5mv。所以實際上摩擦力的存在時間Δt＜Δt，袋的水平分速度比豎直分速度先變?yōu)榱?，因此袋是停在斜面的末端?/p>

思考：若例2中H=2 m，α=45°，μ=0.5，袋又將停在何處？

提示：袋滑到斜面底端的速度為v=，根據(jù)N?Δt=mvsinα，－f?Δtf=－μNΔt=mvx－mvcosα，得vx=v（cosα－μsinα），袋停的位置距斜面末端為x===0.5 m。

三、需對Δt=Δt或Δt<Δt進行討論的情形

例3如圖2所示，質(zhì)量足夠大的長木板在水平方向上以速率v0勻速向右運動，板上方h高度處有一小球從靜止開始自由下落并與板發(fā)生碰撞。小球與板之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，小球反彈的高度仍為h。試求小球反彈的拋射角α的正切tanα與之間的函數(shù)關(guān)系，并畫出函數(shù)圖象。

解析碰撞前后小球在豎直方向的速度大小都為v=，碰撞過程中在水平方向、豎直方向分別運用動量定理，有

N?Δt=2mv， f?Δt=mv

v為小球碰后的水平速度。當Δt=Δt時，根據(jù)f=μN，可得v=2μv，v不能大于v，即要求2μv≤v。故當

v≥2μ=時，小球碰撞后拋射角α的正切為tanα===5。

若Δt<Δt，即v＜時，小球反彈時的水平速度與木板的速度相同，有v=v，因此tanα==。

綜上所述，tanα與的函數(shù)關(guān)系為

tanα=50<≤?<

圖象如圖3所示。

例4有一質(zhì)量及線度足夠大的水平板，繞豎直軸以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)。在板的上方h處有一群相同的小球（可視為質(zhì)點），它們以板的轉(zhuǎn)軸為中心、R為半徑均勻地在水平面內(nèi)排成一個圓周（以單位長度內(nèi)小球的個數(shù)表示其數(shù)線密度）?，F(xiàn)讓這些小球同時從靜止狀態(tài)開始自由落下，設(shè)每個球與水平板發(fā)生碰撞的時間非常短，而且碰撞前后小球在豎直方向上速度的大小不變，僅是方向反向；而在水平方向上則會發(fā)生滑動摩擦，動摩擦因數(shù)為μ。試求這群小球第二次和第一次與水平板碰撞時小球數(shù)線密度之比值ν0。

解析設(shè)小球總數(shù)為n，第一次碰撞時小球數(shù)線密度為λ=。某個小球與板碰撞時，在豎直方向有N?Δt=2m，若Δtf=Δt，小球在Δtf時間內(nèi)獲得的水平速度v1，小于ωR，有f?Δtf=μNΔt=mv，解得v=2μ。小球第一次碰后做斜拋運動，水平射程x=2v=8μh，第二次落到板上形成以R==為半徑的圓，小球數(shù)線密度為λ=，則比值ν===（2μ＜ωR）。若Δt<Δt，小球在第一次碰后離開水平板前已與板相對靜止，則v′=ωR，同理可求得這種情況下小球數(shù)線密度ν′=（2μ≥ωR）。