如何提高冪的運算

王善軍

要提高冪的運算的正確性,需在三個方面加以注意:1.公式的使用條件——同底和相應(yīng)運算。2.分清指數(shù)運算。3.公式的逆運用在有的情況下有簡便運算。

初中一年級有關(guān)同底數(shù)冪的運算通常包括:冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法與同底同指數(shù)的冪的加法(合并同類項)。

各運算單獨出現(xiàn)時,學(xué)生計算起來還是能夠準(zhǔn)確的。但是,當(dāng)它們出現(xiàn)混合運算時,有兩處處理的時候有可能出現(xiàn)錯誤。一是底數(shù)有的運算中出現(xiàn)相反數(shù)時對符號的處理時有難易之分。二是學(xué)生對指數(shù)的運算容易出現(xiàn)混淆情況。那么就需要一種方法去分清它們之間的區(qū)別,記住計算方法。

一、在出現(xiàn)底數(shù)是相反數(shù)處理符號,把它化為同底數(shù)的方法

依據(jù)是:多個數(shù)相乘時,積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定.當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時,積為負(fù);當(dāng)負(fù)因數(shù)個數(shù)為偶數(shù)個時,積為正。具體處理方法有兩種:

1.先把每個冪的符號確定為正或負(fù),在根據(jù)乘法的符號確定方法來確定,最后在根據(jù)公式計算。例如

(-a)33·(a2)2·(-a)5·a3

=(-a9)·a4·(-a)5·a3

=+(a9·a4·a5·a3)

=a21

底數(shù)分別是-a和a,不是同底,解決方法——化為同底數(shù)。

兩個負(fù)因數(shù),積為正。

2.可以一次性確定符號,轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問題.還是剛才的例題。

(-a)33·(a2)2·(-a)5·a3

=(-a)9·a4·(-a)5·a3

=+(a9·a4·a5·a3)

=a21

負(fù)因數(shù)個數(shù)9+5=14是偶數(shù),積為正。

再例如:

(-a)33·(a2)2·(-a)6·a3

=(-a)9·a4·(-a)6·a3

=-a10

負(fù)因數(shù)個數(shù)9-6=3是奇數(shù),積為負(fù)。

二、冪的運算法則實例

它們的運算法則是:冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減;合并同類項,合并它們的系數(shù),字母和指數(shù)均不變。它們有兩個共同特點:1.底數(shù)不變。2.指數(shù)在進行相應(yīng)的運算。問題就出現(xiàn)指數(shù)運算上,但指數(shù)運算也有規(guī)律的:冪的乘方指數(shù)是乘法,同底數(shù)冪相乘指數(shù)相加,同底數(shù)冪相除指數(shù)相減.我們可以把運算分為三級:乘方、乘除、加減.那么技巧就是:指數(shù)運算比相應(yīng)冪的運算“降一級”——冪的乘方指數(shù)對應(yīng)運算降為乘法,同底數(shù)冪相乘指數(shù)對應(yīng)運算降為加,同底數(shù)冪相除指數(shù)對應(yīng)運算將為減,同底同指數(shù)冪加減指數(shù)不變。這樣在混合運算中按冪的運算來確定指數(shù)運算就不容易出現(xiàn)問題了。下面舉幾個例子來說明:

例:1.乘方與乘方

(a2)3·(a3)4

=a6·a12

=a18

指數(shù)運算為加

2.乘除

a10÷a7·a2

=a10-7+2

=a5

指數(shù)運算分別為加減

3.乘與加減

a·a7+a4·a4-a2·a3

=a8+a8-a5

=2a8-a5

指數(shù)運算為加

指數(shù)不變

4.乘方、乘、加減

(a4)2+a3·a5-a9·a2

=a8+a8-a7

=2a8-a7

指數(shù)運算分別為乘、加

指數(shù)不變

三、冪的運算公式的逆運用

在整式乘除運算中,有的運用冪的運算性質(zhì)運算,有的運用乘法公式運算,大量習(xí)題都是直接套用公式運算,但有一部分如果直接運用公式不僅計算很繁,而且很難計算準(zhǔn)確。如果把公式反過來使用,就會化繁為簡,化難為易。

1.同底數(shù)冪乘法公式的逆用

例1.已知3m=4,3n=5求3m+n

分析:本題如果想先求出m,n的值,再代入3m+n中求值,是很難辦到的,但若將同底數(shù)冪乘法性質(zhì)反過來用,就可得到aman=am+n,這樣問題就迎刃而解了.

解:3m+n=3m·3n=4×5=20.

2.積的乘方性質(zhì)的逆用

例2.計算(a-1)2(a+1)2

分析:這個題若按一般運算順序,先算乘方,后算乘法,就會很繁雜,但若仔細(xì)觀察,不難發(fā)現(xiàn),作為兩個因式的冪的指數(shù)都是2,如果將積的乘方性質(zhì)反過來運用就會簡捷很多.

解:(a-1)2(a+1)2

=(a-1)(a+1)2

因此,記住冪的運算中指數(shù)運算比相應(yīng)冪的運算“降一級”就能準(zhǔn)確分清指數(shù)運算,提高運算的正確率,避免失誤.

總之,把握好冪的運算法則和一定的技巧方法能給我們的運算帶來更快、更準(zhǔn)確的效果。

作者單位:江蘇省贛榆縣金橋雙語學(xué)校