數(shù)學語言教學初探

楊立志,柏匯崧,范瑞杰

摘要:數(shù)學語言是一種特殊的語言。數(shù)學語言具有科學性、簡潔性、相通性,因此,對數(shù)學語言的研究必將對數(shù)學本身及數(shù)學教育的發(fā)展,乃至對人類文明都會起到積極的促進作用。

關鍵詞:數(shù)學符號;數(shù)學語言;科學;簡潔;相通

收稿日期:2009-11-05

作者簡介:楊立志(1983-),男,北京人,91746部隊助理工程師,學士學位;柏匯崧(1983-),男,上海人;軍事經(jīng)濟學院襄樊分院基礎部助教,學士學位;范瑞杰(1983-),男,湖北襄樊人,軍事經(jīng)濟學院襄樊分院基礎部助教,學士學位。

一、數(shù)學語言的特殊性

1.數(shù)學符號的科學性

數(shù)學符號是數(shù)學文字的主要形式,它是構成數(shù)學語言的基本成份。

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,這十個符號是全世界普遍采用的,它們表示了全部的數(shù),書寫、運算都十分方便。這10個符號常被稱為阿拉伯數(shù)字,實際上卻是印度人創(chuàng)造的,只是經(jīng)過阿拉伯傳到歐洲。這是印度對人類文明的一項重大貢獻,這一貢獻的意義也可能是今天的人們不易覺察的。但是,18世紀一位法國著名數(shù)學家曾說過:“用不多的記號表示全部的數(shù)的思想,賦予它的除了形式上的意義外,還有位置上的意義,它之如此絕妙非常,正是由于這種簡易得難以估量?！?sup>[1]

關于“位置上的意義”,指的是數(shù)字的進位表達。比如說724,它實際上是7×100+2×10+4,可是它只需簡寫成724就明白了。此外還有空位的問題,假若有個數(shù)字是7×1000+2×100+4,那該怎么寫呢?現(xiàn)在我們是很容易回答了,不就寫為7204嗎?可是,在最初的數(shù)字符號系統(tǒng)中是沒有0這個符號的。有的用一個點來表示:72.4;有的用一個方格來表示72□4;有的干脆就拉開一點寫,表示空一位;……但這些寫法的不準確、不方便是顯而易見的。直到使用了0這個符號,問題才得以解決。而0這個符號比其他符號的出現(xiàn)晚了好幾百年。如果再空再空一位看72004這個數(shù)字和7204的區(qū)別,我們能更清楚地體會到0這個符號的特殊意義。

數(shù)學符號有許多種,除了前面提到的數(shù)字符號外,還有代數(shù)的符號,通常用英文字母或希臘字母表示。在笛卡兒時代,以英文字母的開頭幾個表示已知數(shù),如a、b、c、…,以英文字母的最后幾個代表未知數(shù),如x、y、z,或以a、b、c、…代表常數(shù),以x、y、z代表變數(shù)?，F(xiàn)在,這已不是固定的了,在某種約定之下,a、b、c、…也可代表未知數(shù),也可以表變數(shù),x、y、z也可以代表已知數(shù),也可以代表常數(shù)。

數(shù)字研究的對象已不只限于數(shù),還研究形,△表示三角形,□表示四邊形,○表示圓。數(shù)學研究的最一般對象是集合,而表示集合的符號常常用英文字母的斜體,如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符號表示,例如,用N表示自然數(shù)集,而實數(shù)集則用R表示,N與nature(自然)一詞有關,R與real(實的)有關。特定的集合組成空間,空間有時用S表示,S與space(空間)一詞有關,但也用其他字母表示空間。^[1]這些符號的運用使得數(shù)學語言變得簡練。

還有一類符號是表示關系的,通過種種關系起聯(lián)結(jié)作用。常用的如等號=,近似等號≈,全等號≌或恒等≡。還有不等號≠,<,>?！伪硎酒叫嘘P系,⊥表示垂直關系,∈與表示元素與集合之間的關系,急硎炯合與集合之間的關系等等。

還有一大類是關于運算的符號。+,-,×,÷是四則運算符號。是開方運算符號,sin, cos, tan是三角運算符號,lim是極限運算符號,d、∫是微積分運算符號?！票硎救舾身椖酥翢o窮項求和,∏表示連乘,!表示階乘,∪、∩是集合論中的運算符號。映射是比運算更普遍的概念,f,g,h等常被運用作映射符號。

微積分是英國人牛頓和德國人萊布尼茨彼此獨立發(fā)現(xiàn)的,牛頓和萊布尼茨使用的微分符號卻是不同的。相比之下,萊布尼茨的符號在這兩方面都比牛頓的符號更加科學合理,它反映了事物最內(nèi)在的本質(zhì),減輕了想象的任務。而英國人卻以牛頓為自豪,這是無可厚非的,但是,由于他們長時間固守牛頓的符號,使英國數(shù)學的發(fā)展受到了嚴重的損害。^[2]由此可見,數(shù)學符號的科學性直接影響著數(shù)學語言的質(zhì)量,影響著數(shù)學及數(shù)學教育的發(fā)展。

2.數(shù)學語言的簡潔性

數(shù)學語言非常簡潔精確,它具有獨特的價值,它是科學語言的基礎。

從宏觀來說,人們常以“成千上萬”來研究多,再多就是“百萬”、“千萬”了,更多則是“億萬”。可是,數(shù)學能作出更簡潔也更明確、更有力的表示,比如說,102535622