解抽象函數(shù)的思路探究

馮愛(ài)雪

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，函數(shù)作為貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的一條主線.歷年來(lái)，也是高考中重要的考點(diǎn)之一，其中抽象函數(shù)屢屢出現(xiàn)在高考試卷上.抽象函數(shù)由于只給出函數(shù)的某些性質(zhì)，卻不知道函數(shù)的解析式，因而成為函數(shù)問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn).現(xiàn)從以下三個(gè)方面作一探討：

一、重視“模型”，對(duì)號(hào)入座

高中數(shù)學(xué)課程中，有許多基本的函數(shù)模型，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一就是把這些基本的函數(shù)模型“留”在學(xué)生的頭腦中.這些函數(shù)模型是學(xué)生理解函數(shù)和思考其他函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解有重要的意義.

常見(jiàn)的抽象函數(shù)與初等函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

二、適當(dāng)賦值，恰當(dāng)代換

賦值法是數(shù)學(xué)中一種重要的解題思路,給關(guān)系賦式或給未知數(shù)賦值,往往起到柳暗花明,峰回路轉(zhuǎn)的功效.抽象函數(shù)問(wèn)題也不例外.

反思：賦值法解決抽象函數(shù)問(wèn)題是常用的有效方法，故通過(guò)新給的關(guān)系式，對(duì)其中的變量進(jìn)行有效賦值.充分利用題設(shè)條件和定義,賦值求解.還要注意借助具體模型思考，聯(lián)系解題目標(biāo)賦值.

反思：解決抽象函數(shù)問(wèn)題，需要適當(dāng)?shù)刭x值及恰當(dāng)?shù)刈兞看鷵Q.本題中就多次賦值，及變量代換.這是解決此類問(wèn)題的主要思路.

三、聯(lián)系性質(zhì)，關(guān)注圖像

函數(shù)的性質(zhì)和圖象是對(duì)應(yīng)關(guān)系.首先，要搞清函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，周期性的聯(lián)系.其次，還要根據(jù)題設(shè)條件，掌握指定區(qū)間單調(diào)性.

反思：本題利用函數(shù)的奇偶性、周期性，同時(shí)也要考慮到函數(shù)在0≤x≤1時(shí)，f（x）=x的圖象.這樣就萬(wàn)無(wú)一失了.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）試求方程f（x）=0在閉區(qū)間［-2008，2008］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

解：（Ⅰ）因?yàn)樵冢?，7］上，只有f（1）=f（3）=0，

所以f（5）≠0，所以f（-1）≠f（1），

所以f（x）是非奇非偶函數(shù)．

（Ⅱ）由已知易得f（x）=f（10+x），

所以10是f（x）的最小正周期，

所以在每一個(gè)最小正周期內(nèi)f（x）=0只有兩個(gè)根，

所以在［0，2008］上的根的個(gè)數(shù)是402個(gè)，而在［-2008，0］上的根的個(gè)數(shù)是401個(gè)，即在閉區(qū)間［-2008，2008］上的根的個(gè)數(shù)是803個(gè)．

反思：這一道題綜合考察了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，周期性的聯(lián)系.f（x）=0既考察了函數(shù)根的情況，又考察了函數(shù)圖象的變化情況.學(xué)生需要對(duì)每一個(gè)最小正周期（或每一段區(qū)間）內(nèi)f（x）=0根的情況都要搞清.

例3 已知函數(shù)y=f（x+1）的圖象如圖(1)所示,則函數(shù)y=f-1（x+1）的圖象是( )

分析：由y=f（x+1）圖象向右平移1個(gè)單位y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱y=f-1（x）的圖象向左平移1個(gè)單位y=f-1（x+1）的圖象.故應(yīng)選D.

總之，對(duì)于抽象函數(shù)，只要熟練掌握了基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象，頭腦中再“留住”一批模型.我們就可對(duì)關(guān)系式賦試，再經(jīng)過(guò)變換，可以揭開(kāi)其面紗，而識(shí)得其“廬山真面目”.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”