對(duì)應(yīng)，植樹(shù)問(wèn)題的靈魂

張秀清

一、初步感知規(guī)律

聽(tīng)寫：圓、三角形、圓、三角形、圓、三角形。

師：這里有幾個(gè)圓、幾個(gè)三角形?圓與三角形的個(gè)數(shù)怎么樣?接下去會(huì)畫嗎?(學(xué)生接著畫)

師：怎么不畫了?能畫完嗎?怎么辦?

生：用“……”表示。

師：誰(shuí)來(lái)解釋一下“……”的意思?

生1：“……”表示有很多很多，畫不完。

師：圓有多少個(gè)？三角形有多少個(gè)?

生：圓有無(wú)數(shù)個(gè)，三角形有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：圓和三角形哪個(gè)多?

生：一樣多。

師：為什么?

生2：都是無(wú)數(shù)個(gè)，所以一樣多。

生3：圓和三角形是一組，所以圓和三角形一樣多。

師：誰(shuí)上來(lái)一組一組地畫出來(lái)?(生畫略)

師：圓和三角形是對(duì)應(yīng)的，圓和三角形的排列是有規(guī)律的，有什么規(guī)律?

(引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)圓中間一個(gè)三角形、兩個(gè)三角形中間一個(gè)圓，發(fā)現(xiàn)圓和三角形是一一對(duì)應(yīng)、間隔排列的，所以圓與三角形一樣多)

師：我接著再畫一個(gè)圓，圓和三角形的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系?

生：原來(lái)一樣多，現(xiàn)在圓比三角形多了一個(gè)。

師：用“對(duì)應(yīng)”二字會(huì)說(shuō)嗎?

生4：圓和三角形原來(lái)是對(duì)應(yīng)的，現(xiàn)在多了一個(gè)。

……

學(xué)生理解了間隔排列、一一對(duì)應(yīng)后，再添加一個(gè)圓，在這種排列下，添加的圓沒(méi)有對(duì)應(yīng)的三角形，讓學(xué)生感受到兩端物體相同時(shí)兩種物體之間的數(shù)量關(guān)系。植樹(shù)問(wèn)題中，如果兩端都種樹(shù)，樹(shù)和間隔的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是上面三角形與圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、加深認(rèn)識(shí)規(guī)律

出示例題(兔子與蘑菇、木樁與網(wǎng)、手帕與夾子圖)

師：圖中有哪些物體是間隔排列的?兔子與蘑菇有什么關(guān)系?(引導(dǎo)學(xué)生用“對(duì)應(yīng)”二字說(shuō)一說(shuō))

……

師：用圓代替柱子，用三角形代替網(wǎng)。

多媒體演示把三幅圖合并成一幅圖，如下：

○△○△○△……○△○△○

師：看到這幅圖，你想到什么?

生1：圓和三角形是一一對(duì)應(yīng)的，圓的個(gè)數(shù)比三角形多一個(gè)。

多媒體演示把最后的圓去掉，變?yōu)橄聢D：

○△○△○△……○△○△

師：現(xiàn)在呢?

生2：圓和三角形是一一對(duì)應(yīng)的，圓的個(gè)數(shù)和三角形一樣多。

師：生活中有沒(méi)有這樣間隔排列的問(wèn)題？

(學(xué)生舉例，如會(huì)場(chǎng)坐椅的扶手、電燈等等)

師：馬路邊有25根電線桿，每?jī)筛娋€桿之間有一個(gè)廣告牌，一共有多少個(gè)廣告牌?(生答略)

師：教室里男女同學(xué)的座位也有間隔排列的情況。每?jī)蓚€(gè)男生之間插一個(gè)女生，插了幾個(gè)女生?(3個(gè))

多媒體出示○●○●○●○，然后變成了弧形，如右圖。

師：現(xiàn)在男生幾個(gè)?(4個(gè))女生幾個(gè)?(3個(gè))

多媒體把弧形變成圓形，如右圖。

師：現(xiàn)在幾個(gè)男生?(4個(gè))幾個(gè)女生?(3個(gè))

最后多媒體動(dòng)態(tài)顯示在兩個(gè)男生之間插入一個(gè)女生，如右圖。(男生和女生同樣多了)

這由“開(kāi)”到“合”的過(guò)程，設(shè)計(jì)得實(shí)在太妙了!賁老師利用圖形的變形，輕而易舉地解決了物體“開(kāi)”“合”不同排列之間的聯(lián)系與區(qū)別。

感悟：

從以上教學(xué)過(guò)程中，筆者深深體會(huì)到我們的學(xué)生做“植樹(shù)問(wèn)題”為什么會(huì)出現(xiàn)那么多的錯(cuò)。

原因一：對(duì)“間隔”的含義理解不深刻。人教版教材沒(méi)有“間隔排列”這樣一節(jié)教學(xué)內(nèi)容。二、三年級(jí)的“找規(guī)律”主要讓學(xué)生感受排列組合的數(shù)學(xué)思想和有序思考的學(xué)習(xí)方法，到四年級(jí)教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)才出現(xiàn)“間隔”一詞。一般教師對(duì)“間隔”一詞的含義，教學(xué)時(shí)間花的較少，學(xué)生對(duì)“間隔”的理解也僅僅停留在“兩點(diǎn)之間的一段距離”的認(rèn)識(shí)上。蘇教版教材專門安排了“間隔排列”的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在大量感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，能更深層次地理解“間隔”的本質(zhì)。賁友林老師精彩的教學(xué)設(shè)計(jì)，更是把“間隔排列”和“植樹(shù)問(wèn)題”有機(jī)地結(jié)合了起來(lái)。

原因二：我們以往總是把“植樹(shù)問(wèn)題”分成三類教學(xué)，通過(guò)一些實(shí)際例子讓學(xué)生找到規(guī)律：兩端都種樹(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1；一端種一端不種或封閉的時(shí)候，棵數(shù)=間隔數(shù)。這樣教學(xué)，實(shí)際上是人為地把知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系割裂了，不但加重了學(xué)生記憶的負(fù)擔(dān)，而且還容易混淆。

賁友林老師用對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)整節(jié)課，緊緊抓住間隔問(wèn)題的本質(zhì)就是對(duì)應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)。植樹(shù)問(wèn)題的三種情況實(shí)質(zhì)上就是間隔排列的不同情況，因此植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)也是對(duì)應(yīng)問(wèn)題。當(dāng)樹(shù)和間隔一一對(duì)應(yīng)，這時(shí)棵數(shù)與間隔數(shù)一樣多；當(dāng)樹(shù)和間隔一一對(duì)應(yīng)，最后還多出了一棵樹(shù)，這時(shí)棵數(shù)就比間隔數(shù)多一；當(dāng)間隔和樹(shù)一一對(duì)應(yīng)，最后樹(shù)沒(méi)有了，而間隔還有一個(gè)，這時(shí)樹(shù)比間隔少一。封閉圖形中的植樹(shù)問(wèn)題也是對(duì)應(yīng)問(wèn)題，此時(shí)棵數(shù)和間隔數(shù)正好一一對(duì)應(yīng)。至于對(duì)應(yīng)時(shí)“一對(duì)多”的情況，筆者認(rèn)為，只要“一對(duì)一”理解透徹了，“一對(duì)多”只是舉一反三的事情，不難理解。

總之，用對(duì)應(yīng)思想統(tǒng)領(lǐng)植樹(shù)問(wèn)題，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中貫穿始終，就不必再分類型記規(guī)律，植樹(shù)問(wèn)題就不再那么難解決了。