在比較中體驗(yàn)感悟

單敏芳

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第69頁(yè)“比一比”是關(guān)于平均數(shù)的教學(xué)內(nèi)容。查閱平均數(shù)有關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)有以下要義：(1)算術(shù)平均數(shù)可以將各數(shù)量的具體差異平均化，用以反映總體在一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下的一般水平；(2)算術(shù)平均數(shù)可以對(duì)比同類現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間以及實(shí)際與計(jì)劃間的一般水平；(3)算術(shù)平均數(shù)可以對(duì)比同一現(xiàn)象在不同時(shí)間的變化狀況，以說明現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)和規(guī)律性；(4)算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)，可以研究總體單位分布的集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)；(5)算術(shù)平均數(shù)易受兩極端數(shù)據(jù)的影響。

針對(duì)以上要義，教師教學(xué)該課時(shí)應(yīng)進(jìn)行怎樣的預(yù)設(shè)?又如何讓三年級(jí)的學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)、感受平均數(shù)的產(chǎn)生，理解平均數(shù)的本質(zhì)意義?綜觀一些教學(xué)平均數(shù)的公開課，筆者認(rèn)為通過比較的方法可以化深?yuàn)W于淺顯，在比較中可以讓學(xué)生體會(huì)幽深隱微的道理。

比較一：第69頁(yè)教材主題圖

師：要想知道男隊(duì)和女隊(duì)哪個(gè)隊(duì)投籃實(shí)力強(qiáng)，你認(rèn)為可以怎么比?

生：可以比兩個(gè)隊(duì)總共投進(jìn)去的個(gè)數(shù)。

生：可以比投進(jìn)去最多的那一個(gè)。

生：可以比平均每個(gè)人投進(jìn)去的個(gè)數(shù)。

師(出示教材第69頁(yè)主題圖)：根據(jù)圖中的信息。再比較這三種比法，你認(rèn)為哪種方法比較合理?

在一番比較爭(zhēng)論后，學(xué)生有了這樣的共識(shí)：人數(shù)不一樣，比總數(shù)不公平；比最好的一個(gè)也不合理，因?yàn)橥哆M(jìn)去最少的也在女隊(duì)；在人數(shù)不一樣的情況下，要知道哪隊(duì)實(shí)力強(qiáng)，應(yīng)該比平均每人投中的個(gè)數(shù)。

第一次的比較，是對(duì)“比一比”方法的比較。這樣的比較，讓學(xué)生經(jīng)歷了生活問題“數(shù)學(xué)化”和平均數(shù)產(chǎn)生的過程。在比較中，學(xué)生體悟到了平均數(shù)的第(2)要義。理解了算術(shù)平均數(shù)可以對(duì)比在不同單位下的同類現(xiàn)象的水平，從平均數(shù)的功能上為學(xué)生建構(gòu)了概念。

比較二：男生隊(duì)5個(gè)隊(duì)員投籃的個(gè)數(shù)分別是：小明4個(gè)、亮亮7個(gè)、小星5個(gè)、田田4個(gè)、丁丁5個(gè)。

(4＋7＋5＋4＋5)÷5＝5(個(gè))，男生隊(duì)平均每人投中5個(gè)。

師：亮亮投中的是7個(gè)，怎么變成5個(gè)了?田田投中的是4個(gè)，怎么多起來了?平均數(shù)5個(gè)和丁丁投中的5個(gè)一樣嗎?

結(jié)合移多補(bǔ)少的過程，學(xué)生形象地看到亮亮投中的7個(gè)中移給了小明、田田各1個(gè)，而田田、小明也由原來的4個(gè)變成了5個(gè)。通過“移一移”，小明、亮亮、小星、田田、丁丁投中的個(gè)數(shù)變成了一樣多，所以平均數(shù)5是整個(gè)男隊(duì)的總體水平，丁丁的5個(gè)是他個(gè)人的實(shí)際水平。

第二次的比較是對(duì)幾個(gè)數(shù)表示意義的比較。這樣的比較，使學(xué)生形象地看到平均數(shù)使每個(gè)人投中的個(gè)數(shù)變成了一樣多，它是一個(gè)虛擬的數(shù)，不代表實(shí)際的個(gè)體狀況。這樣的比較，把“算術(shù)平均數(shù)可以將各數(shù)量的具體差異平均化，用以反映總體在一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下的一般水平”的幽深要義闡述得明明白白，從平均數(shù)的特征的角度為學(xué)生建構(gòu)了概念。

師：觀察小熊五周賣出冰糕的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你估計(jì)一下：小熊平均每周賣出冰糕多少箱?

(生分別說出了40箱、7箱、7～12箱、9箱等幾個(gè)估計(jì)值)

師：比較一下這幾個(gè)數(shù)，請(qǐng)靜靜地想一想，他們可能是怎么估計(jì)的?

生：估計(jì)40是因?yàn)?、10、9、11、7的和是40左右。

生：估計(jì)7是因?yàn)橛袃蓚€(gè)7。

生：因?yàn)樽钌偈?，最多是12，所以估計(jì)是7～12之間。

生：9是五個(gè)數(shù)中最中間的一個(gè)數(shù)。

40是總數(shù)，7是眾數(shù)，9是中位數(shù)，7～12是平均數(shù)的取值范圍。觀察這幾個(gè)估計(jì)值，使更多的學(xué)生感受到盡管估計(jì)的依據(jù)不同，但都描述出了這組數(shù)據(jù)的分布特征。這就是平均數(shù)的第(4)要義：算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)，可以研究總體單位分布的集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)。這時(shí)，教師繼續(xù)追問：“估計(jì)平均數(shù)是40箱可能嗎?為什么?如果估計(jì)平均數(shù)是7箱，可能嗎?為什么?”于是學(xué)生再次對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，對(duì)“平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的平均化”意義二度理解，這樣學(xué)生對(duì)平均數(shù)的取值范圍就有了理性上的提升，從平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)出發(fā)建構(gòu)了概念。

為了讓學(xué)生對(duì)“算術(shù)平均數(shù)可以對(duì)比同一現(xiàn)象在不同時(shí)間的變化狀況，以說明現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)和規(guī)律性”這一意義的理解，最后教師問：“小熊第六周大概賣了多少箱冰糕?”這時(shí)，學(xué)生就很自然地體會(huì)到可以利用前五周平均每周賣9箱來估計(jì)第六周大概賣多少冰糕，從而達(dá)成對(duì)平均數(shù)可以用來說明現(xiàn)象發(fā)展趨勢(shì)和規(guī)律的理解。

比較四：“新苗杯”兒童歌曲大獎(jiǎng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

師：觀察上表，請(qǐng)比較一下兩個(gè)選手誰的成績(jī)好。

生：兩個(gè)選手的成績(jī)一樣好，因?yàn)槠骄侄际?分。

師：可現(xiàn)場(chǎng)亮出的結(jié)果是1號(hào)選手成績(jī)好，平均分為8分，你知道這是怎么回事嗎?

有疑才能激趣。在疑問中，學(xué)生主動(dòng)聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想歌手電視比賽的計(jì)分方法，最后得出：比賽中，為了更公正、合理地比較出選手的實(shí)際水平，總是先去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算平均分。

著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的?！笔堑?，正是這樣的比較，把平均數(shù)的本質(zhì)意義經(jīng)過了放大，生動(dòng)地融入了學(xué)生的認(rèn)知過程。比較使學(xué)生有了對(duì)平均數(shù)剖析的過程，使學(xué)生有了對(duì)平均數(shù)理解的經(jīng)歷。有了這樣的經(jīng)歷和過程，學(xué)生才有對(duì)平均數(shù)意義的體驗(yàn)。這樣的體驗(yàn)，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了更多的領(lǐng)悟。