數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)兩種思維和諧發(fā)展

張全蒼

“數(shù)無形而少直觀，形無數(shù)而難入微?！比A羅庚教授非常精辟而又通俗地闡明了數(shù)和形結(jié)合的必要性?！皵?shù)形結(jié)合”不僅是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生形象思維的重要手段，而且是促進(jìn)抽象思維與形象思維互助互補(bǔ)、和諧發(fā)展的有效途徑。那么，怎樣運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法促進(jìn)兩種思維的和諧發(fā)展呢?

一、充分感知，積累表象，發(fā)展形象思維

教學(xué)中，必須加強(qiáng)直觀教學(xué)，為學(xué)生提供足夠的感性材料，讓學(xué)生運(yùn)用多種感官充分感知，豐富學(xué)生的表象儲(chǔ)備，提高表象的概括性。

例如，學(xué)生在認(rèn)識(shí)“周長(zhǎng)”時(shí)，由于受到自身注意力水平的制約，往往只注意圖形的面，而不注意它的邊。因此，就需要教師把周長(zhǎng)外化出形象，通過展示周長(zhǎng)形象來啟迪學(xué)生的形象思維，理解周長(zhǎng)的意義。教學(xué)時(shí)，可以先復(fù)習(xí)有關(guān)平面圖形的名稱、特點(diǎn)，讓舊知得以再現(xiàn)后，再拿出兩根長(zhǎng)短不同的紅線，讓學(xué)生思考怎樣才能知道這兩根線的長(zhǎng)度，揭示周長(zhǎng)也是一根“線”，可以用直尺量出長(zhǎng)度。然后用這兩根紅線在釘子板上分別圍成有關(guān)的平面圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察用線圍的動(dòng)態(tài)演示過程，思考這兩根線分別是每個(gè)平面圖形的哪一部分，讓學(xué)生明白“線”具有一定的長(zhǎng)度，為進(jìn)一步理解周長(zhǎng)的含義、特征奠定了基礎(chǔ)。

在展示周長(zhǎng)形象的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生充分感知平面圖形的周長(zhǎng)，建立準(zhǔn)確、清晰的周長(zhǎng)表象，促進(jìn)學(xué)生形象思維的發(fā)展，可以讓學(xué)生先觀察在釘子板上圍成每個(gè)平面圖形的邊各占幾根釘子，再量一量每個(gè)平面圖形的邊各是多少厘米，并根據(jù)量出的數(shù)據(jù)說一說：圍成的每個(gè)平面圖形各用了多長(zhǎng)的線?怎樣算出來?引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)周長(zhǎng)形象的部分感知上升到對(duì)整體的感知，在頭腦中把每個(gè)平面圖形的幾條邊形象地進(jìn)行移動(dòng)、整合，最后得出“線的總長(zhǎng)是由周成每個(gè)平面圖形各邊的線段組成的，它的長(zhǎng)度就是幾條邊長(zhǎng)度的總和”，從而建立起周長(zhǎng)的表象。

二、語(yǔ)言參與，概括表象，引發(fā)抽象思維

表象具有直觀形象性和抽象概括性的雙重特征。語(yǔ)言是對(duì)表象進(jìn)行分析綜合形成概念的工具，是思維的物質(zhì)外殼。知識(shí)的獲得與相應(yīng)的智力活動(dòng)的進(jìn)行，都離不開語(yǔ)言的參與。例如，學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積的計(jì)算時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用邊長(zhǎng)1厘米的正方形擺放成長(zhǎng)與寬的厘米數(shù)分別是3和1、3和2、4和3的三個(gè)長(zhǎng)方形，先看每個(gè)圖形一排擺幾個(gè)，一共擺幾排，然后在表格里填出每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與面積，并回答下面的問題：(1)每排擺了幾個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形?這與長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”有什么關(guān)系?(2)一共擺了幾排?這與長(zhǎng)方形的“寬”有什么關(guān)系?通過討論，逐步概括出：每排擺幾個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形，長(zhǎng)就是幾厘米；一共擺幾排，寬就是幾厘米。接著出示下面的三個(gè)圖形和表格：

讓學(xué)生先想擺的過程，再逐一說出這三個(gè)圖形沿長(zhǎng)的一邊一共可以擺幾個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形，沿寬的一邊一共可以擺幾排。填表后引導(dǎo)學(xué)生觀察分析表中的數(shù)據(jù)，并說一說：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬跟它的面積有什么關(guān)系?由于學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)際操作活動(dòng)和想擺的過程，較好地建立了這三個(gè)圖形面積的表象，并能說出：第1個(gè)圖形長(zhǎng)4厘米，寬1厘米，面積是4(4×1)平方厘米；第2個(gè)圖形長(zhǎng)5厘米，寬2厘米，面積是10(5×2)平方厘米；第3個(gè)圖形長(zhǎng)8厘米，寬3厘米，面積是24(8×3)平方厘米。

表象是形象思維的“細(xì)胞”，又是過渡到抽象思維的橋梁。這里經(jīng)過三次“操作——表象——語(yǔ)言——算式”的反復(fù)，去異存同，并舍棄起始過程，從“算式”概括出“公式”。在這一過程中，學(xué)生的抽象思維能力得到了很好的發(fā)展。

三、數(shù)形結(jié)合，促使兩種思維相輔相成

加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，可以交互運(yùn)用抽象思維和形象思維，有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。例如，學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，在學(xué)生根據(jù)周長(zhǎng)的概念列式計(jì)算長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)后，讓學(xué)生說一說是怎樣想的，并且結(jié)合學(xué)生回答出示第一種算法的線段圖(如下)，再讓學(xué)生根據(jù)線段圖和長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的特征推算出其他兩種算法。

讓學(xué)生在比較中加深對(duì)算理的理解，領(lǐng)悟長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)實(shí)際上就是兩個(gè)長(zhǎng)與兩個(gè)寬的和。這樣在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已獲得的周長(zhǎng)概念進(jìn)行分析、比較，借助形象思維對(duì)周長(zhǎng)圖式進(jìn)行移動(dòng)、變換，再通過抽象邏輯思維的介入，進(jìn)行高一層次的抽象概括，讓學(xué)生既知道算法，又明白算理。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅加深了對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，而且在獲得知識(shí)的同時(shí)，形象思維和抽象邏輯思維都得到了發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把數(shù)和形結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生既從數(shù)的方面用分析的方法進(jìn)行抽象思維，又從形的方面去整體思考，通過類化、聯(lián)想、想像等活動(dòng)進(jìn)行形象思維，充分發(fā)揮兩種思維的優(yōu)勢(shì)，就能很好地把握事物的本質(zhì)，找到解決問題的途徑。例如，學(xué)習(xí)一位數(shù)除兩位數(shù)的除法時(shí)，學(xué)生難于理解十位上余下的幾是幾個(gè)十，要把它和個(gè)位的數(shù)合起來繼續(xù)去除。為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)例題"52÷2”時(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行。如下：

通過操作演示，引導(dǎo)學(xué)生邊分小棒邊思考。討論豎式計(jì)算時(shí)，借助數(shù)與形(小棒)的結(jié)合，通過類比懂得：因?yàn)榉中“魰r(shí)把剩下的1捆拆開與2根小棒合并起來是12根，所以豎式計(jì)算時(shí)十位上余下來的1個(gè)十和個(gè)位落下來的2個(gè)一合起來是12，平均分成2份，每份是6，在商的個(gè)位上應(yīng)寫6。這樣，使教學(xué)難點(diǎn)得到了很好的突破，學(xué)生不僅深刻理解了算理，而且發(fā)展了思維。

雖然應(yīng)用題在新教材中沒有再獨(dú)立編排。但這不影響學(xué)生通過解決應(yīng)用題來訓(xùn)練他們的思維。由于應(yīng)用題是事理、文理與算理三者的結(jié)合，所以它的原型比較復(fù)雜抽象，學(xué)生攝入大腦后難以形成清晰具體的表象。如果采用數(shù)形結(jié)合的方法畫出線段圖，可幫助學(xué)生建立正確的表象，使隱蔽復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得十分明朗。例如：“光明小學(xué)航模組人數(shù)是生物組的4/5，生物組人數(shù)是美術(shù)組的1/3。航模組有8人，美術(shù)組有多少人?”這道例題的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生往往難以確定把哪個(gè)量看作單位“1”。學(xué)習(xí)時(shí)，可以指導(dǎo)學(xué)生畫出如下的線段圖來分析數(shù)量關(guān)系。

通過線段圖，可以十分清楚地看出三組人數(shù)之間的關(guān)系是：美術(shù)組的人數(shù)×1/3=生物組的人數(shù)；生物組的人數(shù)×4/5＝航模組的人數(shù)。如果把美術(shù)組的人數(shù)看作單位“1”，設(shè)它為x，學(xué)生可以根據(jù)線段圖很快地列出方程為x×1/3×4／5＝8，解得x＝30；也可以把生物組的人數(shù)看作單位“1”，設(shè)它為x，根據(jù)線段圖列出方程為x×4/5＝8，解得x＝10，求出了生物組有10人。而生物組的人數(shù)是美術(shù)組的1/3，可知道美術(shù)組的人數(shù)是生物組的3倍，即美術(shù)組有30人。

線段圖具有半具體、半抽象的特點(diǎn)，它既能舍去應(yīng)用題的具體情節(jié)，又能形象地揭示出條件與條件、條件與問題之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，明確顯示出已知和未知的內(nèi)在聯(lián)系，激活學(xué)生的解題思路。這里線段圖的運(yùn)用、數(shù)與形的結(jié)合，較好地激發(fā)了學(xué)生再造性想像，實(shí)現(xiàn)了形象思維與抽象思維的互助互補(bǔ)、相輔相成。

用數(shù)形結(jié)合的方法組織學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，把發(fā)展學(xué)生的形象思維和抽象思維結(jié)合起來，可以充分發(fā)揮兩種思維的功能，使得兩種思維相互影響、相互促進(jìn)、和諧發(fā)展。