高中數(shù)學(xué)教學(xué)中排列組合應(yīng)用問(wèn)題解題探析

徐小鋒

排列組合應(yīng)用問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一塊較為抽象的問(wèn)題，需要學(xué)生有較強(qiáng)的分析理解能力。因而，學(xué)生對(duì)此理解不透徹，學(xué)習(xí)起來(lái)難度很大，并且很難能夠找出錯(cuò)誤的原因，在高考中，這類(lèi)題型的得分率較低。因此，筆者根據(jù)多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)排列組合應(yīng)用問(wèn)題的思考方法作以下的初步探討，以便與同仁們商榷。

1、總的原則

(1)深入弄清問(wèn)題的情景

要深入弄清所要解的問(wèn)題的情景，切實(shí)把握住各因素之間的相互關(guān)系，不可分析不透就用A琺璵或C琺璶亂套一氣．具體地說(shuō)：首先要弄清有無(wú)“順序”的要求，如果有“順序”的要求，用A琺璶；反之用C琺璶．其次，要弄清目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，是分步達(dá)到的，還是分類(lèi)完成的．前者用乘法原理，后者用加法原理．事實(shí)上，一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，往往是分類(lèi)和分步交織在一起的，這就要準(zhǔn)確分清，哪一步用乘法原理，哪一步用加法原理．

(2)兩個(gè)方向的解題途徑

對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，一般都有兩個(gè)方向的列式途徑，一個(gè)是“正面湊”，一個(gè)是“反過(guò)來(lái)剔”．前者指，按照要求，一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．

(3)要特別強(qiáng)調(diào)一題多解

原因有二．第一，一題多解幾乎是解排列組合應(yīng)用問(wèn)題最主要的檢驗(yàn)方法；第二，一題多解，可以從不同角度對(duì)題目進(jìn)行剖析，是訓(xùn)練這類(lèi)問(wèn)題的分析能力的有效手段．

2、對(duì)常見(jiàn)問(wèn)題分類(lèi)總結(jié)

(1)有相鄰要求的排列問(wèn)題

例１：７人站成一排照相，其中王、張、李三個(gè)朋友要挨在一起．求有多少種站法？

分析：解決這個(gè)問(wèn)題，當(dāng)然有許多方法，可以讓其余的人排好，把王、張、李逐次放入，也可以７人全排列后，把王、張、李不全相鄰的情況去掉．但最簡(jiǎn)單的方法是：第一步，把王、張、李看成一個(gè)人，去和其他的４人做５人的全排列，第二步，在上面的每種站位里，讓王、張、李再做３人全排列．這好像先把有相鄰要求的人捆起，以后在放開(kāi)。我們不妨稱(chēng)之為“捆綁法”．

(2)分配問(wèn)題

把一些元素分給另一些元素來(lái)接受．這是排列組合應(yīng)用問(wèn)題中難度較大的一類(lèi)問(wèn)題．因?yàn)檫@涉及到兩類(lèi)元素：被分配元素和接受單位．而我們所學(xué)的排列組合是對(duì)一類(lèi)元素做排列或進(jìn)行組合的，于是遇到這類(lèi)問(wèn)題便手足無(wú)措了．

事實(shí)上，任何排列問(wèn)題都可以看作面對(duì)兩類(lèi)元素．例如，把10個(gè)全排列，可以理解為在10個(gè)人旁邊，有序號(hào)為1，2，……，10的10把椅子，每把椅子坐一個(gè)人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類(lèi)元素，一類(lèi)是人，一類(lèi)是椅子。于是對(duì)眼花繚亂的常見(jiàn)分配問(wèn)題，可歸結(jié)為以下小的“方法結(jié)構(gòu)”：

①每個(gè)“接受單位”至多接受一個(gè)被分配元素的問(wèn)題方法是A琺璶，這n舖、其中m是“接受單位”的個(gè)數(shù)。至于誰(shuí)是“接受單位”，不要管它在生活中原來(lái)的意義，只要n舖、個(gè)數(shù)為m的一個(gè)元素就是“接受單位”，于是，方法還可以簡(jiǎn)化為A少多、這里的“多”只要“少”、

例2：8名大學(xué)生分配給9個(gè)工廠，每個(gè)工廠至多要1名大學(xué)生，問(wèn)有多少種分配方案？

例3：把9名大學(xué)生分配給8個(gè)工廠，每個(gè)工廠至多接受1名大學(xué)生，問(wèn)有多少種分配方案？

以上兩例的解答相同，都有A89-362880種方案、

②分組問(wèn)題

幾個(gè)元素分成p組，各組內(nèi)元素?cái)?shù)目為m1，m2，…，m璸,其中組內(nèi)元素?cái)?shù)相等的組數(shù)為k，則分組方案C琺璶·C﹎2﹏-m1·C﹎3﹏-m1-m2…C﹎璸﹎璸狝琸璳、

③被分配元素和接受單位的每個(gè)成員都有“歸宿”,并且不限制一對(duì)一的分配問(wèn)題，方法是分組問(wèn)題的計(jì)算公式乘以A琸璳、

因?yàn)樵诜纸M問(wèn)題里，如果第1組內(nèi)a，b，c,第2組內(nèi)d，e，f,和第２組內(nèi)a，b，c，且第１組內(nèi)算同一個(gè)方案、所以，要把總方案數(shù)除以A琸璳、

例4：把６棵不同的蔬菜，分別捆成３捆，在下列情況下，分別有多少分捆的方法？

(1)每捆２棵；(2)一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵、

解：(1)C²6·C²4·C²2A33=15；(2)C36·C²3·C11=60

例5：把6棵不同的菜，分別種在3塊不同的土地上，在下列情況下，分別有多少種植方法？

(1)每塊地上種2棵；

(2)甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵；

(3)一塊地上3棵，一塊地上2棵，一塊地上1棵、

解：(1)C²6·C²4·C²2=90；(2)C36·C²3·C11=60；(3)C36·C²3·C11·A33=360

變式：如果是7棵不同的菜，種到13塊土地上，一塊地上3棵，一塊地上2棵，還有一塊地上2棵呢？

答案為C37·C²4·A²2A²2

④各接受單位的接受數(shù)目不限(包括可以不接受)且全部元素要分完的問(wèn)、

例6：有5名高中畢業(yè)生報(bào)考大學(xué)，有3所大學(xué)可供選擇，每人只能填一個(gè)志愿，有多少種不同報(bào)名方案？

分析：每名學(xué)生都有3種選擇3×3×3×3×3=35

(3)有不相鄰要求的排列問(wèn)題

方法可以是，第一步先把沒(méi)有不相鄰要求的元素排列好；第二步把有不相鄰要求的元素，向已排列好的隊(duì)伍中元素間的“空擋”(包括兩端)作分配．

例7：要排一張有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，問(wèn)有多少種不同排法？

解法一：A55·A36

解法二：A66·A35

解法二的思路是，先把1個(gè)舞蹈節(jié)目和5個(gè)歌唱節(jié)目一起全排列，然后把余下2個(gè)舞蹈節(jié)目去插空，由于隊(duì)伍中已有1個(gè)舞蹈的兩邊不能插舞蹈，于是有A35．

總之，教師在高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)中，必須要求學(xué)生在解題時(shí)，仔細(xì)審題，分析題意，逐步分層解決題目中需要解決的問(wèn)題，這樣才能有效提高在高考中做這類(lèi)題的正確率。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>