垂徑定理在圓錐曲線中的推廣和運用

陳愛榮

圓有個很重要的性質叫“垂徑定理”：

若AB為⊙O的一條弦，P為AB的中點，則k㎡P?k〢B=-1.這一性質可以在圓錐曲線中進行推廣，而且有很好的應用價值.(為敘述方便，下文把推廣的結論都稱作定理.)

定理1 若點P在橢圓x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于對稱軸且不過橢圓中心O的弦AB的中心，則k㎡P?k〢B=-b2a2.

定理2 若點P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于對稱軸且不過雙曲線中心O的弦AB的中點，則k㎡P?k〢B=b2a2.

定理3 若點P(m,n)是拋物線y2=2px(p>0)的不平行于坐標軸且不過拋物線頂點的弦AB的中點，則k㎡P?k〢B=pm.

(1)若拋物線方程改換為y2=-2px(p>0)時，則k㎡P?k〢B=-pm.

(2)若拋物線方程改換為x2=±2py(p>0)時，則k㎡M?k〢B=±np.

證明：這里只對定理1給出證明，定理2、3可類證.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>