淺析用判別式法求分式函數(shù)的值域的困惑及解決措施

張長(zhǎng)雁

一、引入

判別式法是求分式函數(shù)值域的一種好的方法，但在具體的教學(xué)中不易操控，學(xué)生對(duì)判別式法的使用仍存在著不少的疑惑.教師如何進(jìn)行判別式法的課堂教學(xué)，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題.

二、問(wèn)題解答

形如分式函數(shù)y=f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f，如何用判別式法求其值域.因?yàn)楹瘮?shù)的三要素中只要知道定義域和對(duì)應(yīng)法則，就可以確定函數(shù)的值域.所以按函數(shù)的定義域分類.

1、當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R時(shí)

例1 求函數(shù)y=x2-2x+1x2+x+1的值域.

解：由于x2+x+1=(x+12)2+34>0，所以函數(shù)的定義域是R.去分母：y(x2+x+1)=x2-2x+1,移項(xiàng)整理得(y-1)x2+(y+2)x+(y-1)=0.

(1)當(dāng)y≠1時(shí)，由△≥0得0≤y≤4;

(2)當(dāng)y=1時(shí)，x=0.

綜上所述知原函數(shù)的值域?yàn)椋?，4］.

2、當(dāng)函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集R時(shí)

例2 求函數(shù)y=x2-2x+1x2+x-2的值域.

解：由分母不為零知，函數(shù)的定義域

A={x∈R|x≠-2且x≠1}.

去分母：y(x2+x-2)=x2-2x+1,移項(xiàng)整理得(y-1)x2+(y+2)x+(2y+1)=0.

(1)當(dāng)y≠1時(shí)，由△≥0得y2≥0輞∈R.

檢驗(yàn)：△=0輞=0輝=1麬，∴y≠0.

(2)當(dāng)y=1時(shí)，x=1麬，所以y≠1.

綜上所述知原函數(shù)的值域?yàn)閧y∈R|y≠0且y≠1}.

3、布置練習(xí)

求函數(shù)y=x2-x+1x2-2x-3的值域.

學(xué)生的解答：原函數(shù)的定義域A={x|x≠-1且x≠3}.

由原方程y=x2-x+1x2-2x-3去分母、整理得y(x2-2x-3)=x2-x+1(*),

即(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0.

(玦)當(dāng)y=1時(shí)，x=-4麬，適合題意.

(玦i)當(dāng)y≠1時(shí)，由△≥0輞≤3-218或y≥3+218.

三、學(xué)生的疑惑

疑惑1：例1中如何得知方程的判別式大于或等于零?為什么要討論(2)?怎樣由y=1得x=0?能否去掉(2)?

疑惑2：例2(1)中，為何要對(duì)“△=0”進(jìn)行“檢驗(yàn)”，而例1中卻沒(méi)有?

疑惑3：例2中檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)該將y=0代入哪一個(gè)方程中，求得x的值?

疑惑4：練習(xí)題中，如何檢驗(yàn)△=0是否成立?

四、教學(xué)措施

(一)解釋疑惑1

教師：例1中函數(shù)的定義域?yàn)镽，說(shuō)明什么問(wèn)題?

學(xué)生：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，分式有意義.

教師：如何從等式的角度理解?

學(xué)生：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,等式恒成立.

教師：去分母、整理后的等式是否為原等式的等價(jià)變形?

學(xué)生：是.

教師：從方程角度如何理解?(滲透方程思想)

學(xué)生：關(guān)于x的方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解.

教師：關(guān)于x的幾次方程?

學(xué)生：二次方程.

教師：一定是二次方程嗎?

學(xué)生：(學(xué)生思考、討論后回答)不一定，需分類討論.

教師：這樣例1的(1)步中一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否有解?

學(xué)生：有解，噢，所以△≥0.但不知道(2)的意思，如何由y=1時(shí)，得到x=0?

教師：由y=1代入到原方程y=x2-2x+1x2+x+1得x=0，x的值是否在原函數(shù)的定義域內(nèi)?

學(xué)生：在.

教師：為什么?

學(xué)生：因?yàn)樵瘮?shù)的定義域是R，噢，y就可以取1了.第(2)步就不可缺少了.

(二)解釋疑惑2

學(xué)生：例2(1)中，為何要對(duì)“△=0”進(jìn)行“檢驗(yàn)”，而例1中卻沒(méi)有?

教師：例2中的每一步的變形過(guò)程是否等價(jià)?

學(xué)生：不是.因?yàn)閥(x2+x-2)=x2-2x+1中x2+x-2可以為0，而原方程y=x2-2x+1x2+x-2中，分母不為0.

教師：那么，例1中的每一步的變形過(guò)程是否等價(jià)?

學(xué)生：是.

教師：為什么?

學(xué)生：因?yàn)槔?中無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，分母都大于0.

教師：這就是說(shuō)，例1中每一步都為等價(jià)變形，因此變形的過(guò)程中關(guān)于x的方程不會(huì)出現(xiàn)增根，就不必檢驗(yàn)△=0了.但對(duì)于例2卻不是這樣的，由以上的分析知道，例2中的每一步的變形過(guò)程不是等價(jià)的，因此變形的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)增根，這樣，我們必須檢驗(yàn)△=0是否成立?即檢驗(yàn)使△=0的x的值是否滿足原函數(shù)的定義域，如例2中由“△=0輞=0輝=1麬”知道y=0必須舍去.

(三)解釋疑惑3

學(xué)生：按照老師您的說(shuō)法，例2中檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)該將y=0代入哪一個(gè)方程中，求得x的值?

教師：當(dāng)然是原方程了.

(四)解釋疑惑4

學(xué)生：由“△≥0輞≤3-218或y≥3+218”得“△=0”的條件是y=3-218或y=3+218”，但將y的值代入原方程中，不知如何計(jì)算?

(教師原以為，給學(xué)生布置練習(xí)題只要達(dá)到鞏固判別式法的目的就行，但實(shí)際檢驗(yàn)“△=0”是否成立時(shí)，計(jì)算過(guò)程繁雜，運(yùn)算量大.學(xué)生畏難不想作下去，從而產(chǎn)生“判別式法”不好的感覺，還需要做深入的探究.可喜的是此時(shí)已經(jīng)形成了良好的課堂教學(xué)情景，抓住契機(jī)，師生共同討論解決的方案)

教師：；回想練習(xí)的求解過(guò)程，什么時(shí)候方程會(huì)產(chǎn)生增根?

學(xué)生：由原方程到整式方程(*)的這個(gè)去分母的過(guò)程，會(huì)產(chǎn)生增根.

教師：假若由y的值代入到原方程后，解得x=1或x=-3，說(shuō)明y的值是否滿足題意?為什么?

學(xué)生：不滿足，應(yīng)該將y的值舍去.因?yàn)閤麬.

教師：但x=1或x=-3是否為整式方程(*)的解?

學(xué)生：是.

教師：也就是說(shuō)，將y的值和使分母為0的x的值同時(shí)代入整式方程(*)中，若方程成立，則y的值應(yīng)該舍去，因?yàn)閥的值使得原方程產(chǎn)生了增根.若方程不成立，則說(shuō)明由y的值肯定得不到x=1或x=-3，x的值一定在定義域A內(nèi)，所以y的值滿足題意.比如：例2中將使“△=0”的“y=0”和使分母為0的“x=1”代入到整式方程：y(x2+x-2)=x2-2x+1,得0×0=0，方程成立.所以y=0舍去.按照這個(gè)方法去檢驗(yàn)使“△=0”的y=3-218或y=3+218,就容易知道：當(dāng)y=3-218且x=-1時(shí)，由y(x2-2x-3)=x2-x+1得3-218×［(-1)2-2×(-1)-3］=(-1)2-(-1)+1,即3-218×0=1顯然方程不成立，同理，當(dāng)y=3-218且x=3時(shí)，方程仍然不成立，故y=3-218滿足題意，同理可得y=3+218也滿足題意.那么，綜合上述練習(xí)中(玦)和(玦i)知道，所求的函數(shù)的值域是什么?

學(xué)生：應(yīng)該是(玦)和(玦i)兩種情況下，關(guān)于y的集合的并集.

即為{y|≤3-218或y≥3+218}∪{y∈R|y=1}.

教師：能不能化簡(jiǎn)?(學(xué)生思考片刻后回答)

學(xué)生：能.

教師：化簡(jiǎn)成怎樣的形式?

學(xué)生：因?yàn)?+218<3+258=1，所以函數(shù)的值域是{y|≤3-218或y≥3+218}.

五、反思

上述利用判別式法求函數(shù)的值域過(guò)程滲透了方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.我們不是要求學(xué)生對(duì)判別式法的機(jī)械模仿，而是培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生理解蘊(yùn)涵在方法內(nèi)的數(shù)學(xué)思想，尤其是在目前的新課程改革實(shí)踐中，更需要教師在課堂教學(xué)這一教學(xué)前沿陣地，以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，不斷地改進(jìn)教法和學(xué)生的學(xué)法，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，全面提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì).

參考文獻(xiàn)

［1］石保軍.用判別式法求分式函數(shù)的值域.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004，(5).

［2］高東英.利用△法求函數(shù)值域應(yīng)注意的問(wèn)題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004，(7).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>