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    對(duì)原函數(shù)與反函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題的再探究

    2008-12-10 03:56董令華
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年5期
    關(guān)鍵詞:同理交點(diǎn)單調(diào)

    董令華

    文[1]通過(guò)例題分析探索了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的可能情況,讀后很受啟

    發(fā),筆者在此想對(duì)單調(diào)函數(shù)的互為反函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題作進(jìn)一步探究,供同仁參考.

    一、與反函數(shù)有關(guān)的兩個(gè)常見(jiàn)命題

    命題1 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同;存在反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)[2][3].

    命題2 單調(diào)增的函數(shù)與其反函數(shù)如果有交點(diǎn),則交點(diǎn)必在直線y=x上;單調(diào)減的函數(shù)與其反函數(shù)如果有交點(diǎn),交點(diǎn)不一定都在直線y=x上.

    下面僅對(duì)命題2進(jìn)行證明:

    設(shè)單調(diào)函數(shù)f(x)與其反函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)是(a,b),則點(diǎn)(b,a)也必是兩函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn),且b=f(a),a=f(b).

    ①若y=f(x)單調(diào)增,則要證明兩圖像交點(diǎn)在直線y=x上,只需證明a=b.

    下面用反證法證明,假設(shè)a≠b.

    若a>b且f(x)是增函數(shù),則a=f(b)a,這與條件a>b矛盾,a>b不可能.

    同理a

    即若y=f(x)單調(diào)遞增,互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像交點(diǎn)必在直線y=x上.

    ②若y=f(x)單調(diào)遞減,假定a

    同理,b

    只有當(dāng)a=b時(shí),兩圖像交點(diǎn)才在直線y=x上.

    綜上所述,命題2得證.

    二、對(duì)兩個(gè)流行性反例的解釋

    文[1]、[2]、[3]對(duì)命題“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)必在直線y=x上”判斷時(shí)都舉出了例子y=1x和y=-1x.

    依據(jù)命題2,對(duì)兩個(gè)例子解釋如下:

    (1)y=1x(x>0,x<0,x≠0)與其反函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于y=1x(x>0,x<0,x≠0),也就是它本身,因而兩圖像重合,且有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn),此時(shí)y=

    1x在x>0或x<0時(shí)是單調(diào)減函數(shù),其交點(diǎn)不一定都在y=x上,符合命題2.

    (2)y=-1x(x>0)在x∈(0,+∞)時(shí)單調(diào)增,而其反函數(shù)是y=-1x(x<0),此時(shí)兩函數(shù)根本沒(méi)有交點(diǎn),當(dāng)然也就不存在交點(diǎn)在y=x上.

    同理y=-1x(x<0)與其反函數(shù)y=-1x(x>0)的圖像也沒(méi)有交點(diǎn).

    只是y=-1x(x≠0)與其反函數(shù)y=-1x(x≠0)的圖像重合,且與直線y=x沒(méi)有交點(diǎn),這也符合命題2.

    這樣,文[1]結(jié)束語(yǔ)就更加完整.

    參考文獻(xiàn)

    [1]錢文穎,邵春和.原函數(shù)與反函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題的探究.數(shù)學(xué)教學(xué),2006,5.

    [2]趙芝川.解析反函數(shù),數(shù)學(xué)教學(xué).2006,5.

    [3]王德明.如何理解“y=f(x)”的一些問(wèn)題.數(shù)學(xué)教學(xué).2006,5.

    注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文

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