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    數(shù)學(xué)選題應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程的特點

    2008-12-10 03:56:42徐玲芳
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年5期
    關(guān)鍵詞:拋物線選題命題

    徐玲芳

    結(jié)合高中數(shù)學(xué)新課程的主編寄語以及數(shù)學(xué)教學(xué)實踐,筆者認為數(shù)學(xué)新課程的特點是:數(shù)學(xué)是自然的;學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力;數(shù)學(xué)是清楚的;數(shù)學(xué)是有用的;數(shù)學(xué)教師應(yīng)有人本理念.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)緊扣數(shù)學(xué)特點,精心選擇數(shù)學(xué)問題,不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機,隨著數(shù)學(xué)教學(xué)過程的展開形成幾個高潮,使學(xué)生經(jīng)常處于“憤悱”的狀態(tài)中,培養(yǎng)學(xué)生的各種能力,做到“以題激情、情知交融”.下面筆者結(jié)合數(shù)學(xué)新課程的特點,談?wù)勗跀?shù)學(xué)選題方面的一點體會.

    1 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是有用的”

    數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是有用的”.什么叫有用,什么叫無用,可以用來買菜、算賬就是有用嗎?或者更高級一點,可以用來計算銀行利息、看懂股市行情就是有用嗎?再 高級一點,能夠用來解決某個實際問題就是有用嗎?都是,但又不完全是,數(shù)學(xué)的有用性更加體現(xiàn)在數(shù)學(xué)是一種思考方式上,日本教育家米山國藏指出:“作為知識的數(shù)學(xué),學(xué)生出校門不到兩年就忘了,惟有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法和著眼點等,這些卻隨時隨地發(fā)生作用,使他們終生受益”,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)了一種科學(xué)的數(shù)據(jù)處理方法,使學(xué)生能從紛雜的數(shù)據(jù)中看到一些共性和個性的特點,能看到一些事物間的本質(zhì)聯(lián)系,這一切對于學(xué)生才是終身受用的.所以數(shù)學(xué)選題時要選擇一些貼近生活,貼近實際的數(shù)學(xué)問題,同時這樣的數(shù)學(xué)問題還要體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,這樣的數(shù)學(xué)問題是可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個觀察、聯(lián)想、抽象、概括、數(shù)學(xué)化的過程,讓學(xué)生感受生活中不但要用到數(shù)學(xué),而且還要用到數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法,在這樣的數(shù)學(xué)問題下,學(xué)生一定會想學(xué)、樂學(xué)、主動學(xué),從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究數(shù)學(xué)的興趣.

    案例1 在“均值不等式”一節(jié)的教學(xué)中,可設(shè)計如下實際應(yīng)用問題,某商店在節(jié)前進行商品降價酬賓銷售活動,擬分兩次降價.有三種降價方案:甲方案是第一次打p折銷售,第二次打q折銷售;乙方案是第一次打q折銷售,第二次打p折銷售;丙方案是兩次都打p+q2折銷售.請問:哪一種方案降價較多?(引導(dǎo)學(xué)生解決這個實際問題需要怎樣的數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想,讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想的重要性).

    2 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力”

    考綱明確指出:對數(shù)學(xué)能力的考查,以邏輯思維能力為核心,全面考查各種能力,強調(diào)考題必須具有探究性、綜合性、應(yīng)用性.因而數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)有著十分重要的意義,探究能力是各種能力中的較高層次,它要求學(xué)生會對數(shù)學(xué)問題或資料進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括,并能準確、清晰、有條理地進行表述.探究能力的培養(yǎng)不是一朝一夕可以完成的,所以應(yīng)該把探究能力的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.如何選擇一些具有探究意義的數(shù)學(xué)問題來充分暴露學(xué)生的思維過程是提高學(xué)生能力的前提,怎樣的數(shù)學(xué)問題才具有探究性呢?筆者認為這樣的數(shù)學(xué)問題不一定有解,答案不必唯一,條件可以變化,解決方案可以自己設(shè)計,允許與別人討論等等.比如在圓錐曲線教學(xué)選題時,筆者常選一些可以改變條件或一題多解的數(shù)學(xué)問題來培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

    案例2 直線y=2x+m與拋物線y=x2相交于A、B兩點, ,求直線AB的方程.(需要補充恰當?shù)臈l件,使直線方程得以確定).

    此題一出,學(xué)生的思維便很活躍,補充的條件形形色色,從而激發(fā)了學(xué)生的探究欲望.例如:①|(zhì)AB|=4;②若O為原點,∠AOB=90°;③AB中點的縱坐標為6;④AB過拋物線的焦點F.在探究過程中涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、拋物線的焦點坐標,兩直線相互垂直的充要條件等等,學(xué)生實實在在地進入了探究“狀態(tài)”,學(xué)生的探究能力得到一定的培養(yǎng).

    新課程在注重培養(yǎng)探究能力的同時,還注重學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng),所以在選題時要選擇一些能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的數(shù)學(xué)問題,從而使數(shù)學(xué)教學(xué)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造、再實踐的探究過程.例如在學(xué)習(xí)必修3的統(tǒng)計章節(jié)時,可以統(tǒng)計班級學(xué)生的身高;可以統(tǒng)計班級學(xué)生的學(xué)習(xí)成績;可以統(tǒng)計班級學(xué)生的興趣愛好;可以用來統(tǒng)計班級學(xué)生的學(xué)習(xí)用品等等為選題的內(nèi)容.

    3 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是自然的”

    數(shù)學(xué)新課程中的數(shù)學(xué)內(nèi)容是在人類長期的實踐中經(jīng)過千錘百煉而得到的精華和基礎(chǔ),其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的,所以在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的選題也要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的自然性”.

    案例3 選修1-1和選修2-1的充分條件和必要條件是高中數(shù)學(xué)中的一個重要概念,并且是教與學(xué)的一個難點,另外每個教室都裝有日光燈,教學(xué)時可以選擇這樣的數(shù)學(xué)問題:“電燈亮著”是“有電”的什么條件,“有電”是“電燈亮著”的什么條件,這是很自然,因為這是學(xué)生每天接觸的物件,而且學(xué)生也是很自然的得出:“電燈亮著是有電的充分條件,有電是電燈亮著的必要條件”.另外學(xué)生已經(jīng)學(xué)過物理的電路圖,此時可以自然設(shè)計如下四個電路圖.

    視“開關(guān)A的閉合”為條件A,“燈泡B亮”為結(jié)論B,給充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分又不必要條件以十分貼切、形象的詮釋,使學(xué)生興趣盎然,對“充要條件”的概念理解得比較自然而且入木三分.

    數(shù)學(xué)選題的自然性還要體現(xiàn):“選題必須符合學(xué)生實際的認識水平,要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)選題”.按照心理學(xué),人的認識水平分為:

    人的認識水平就是在這三個層次間循環(huán),不斷轉(zhuǎn)化,螺旋式上升,不宜停留在已知區(qū)和未知區(qū),即不能太難和太容易,要自然的從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”選題,即知識的增長點選題,這樣有助于原有認知結(jié)構(gòu)的鞏固,也便于將新知自然的同化,使認知結(jié)構(gòu)更加完善.

    案例4 在“拋物線及其標準方程”一節(jié)的教學(xué)中,引出拋物線定義“平面上與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”之后,選這樣的問題:初中已學(xué)過的一元二次函數(shù)的圖象就是拋物線,而今定義的拋物線與初中已學(xué)的拋物線從字面上看不一致,它們之間一定有某種內(nèi)在聯(lián)系,你能找出這種內(nèi)在的聯(lián)系嗎?

    這樣的數(shù)學(xué)選題非常自然,又是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi),結(jié)論應(yīng)該是肯定的,而課本中又無解釋,這自然會引導(dǎo)學(xué)生探索其中奧秘的欲望(一元二次函數(shù)可以y=x2為例),此時,教師可根據(jù)情況決定要不要點撥:我們目標是一元二次函數(shù)的圖象符合拋物線定義,從y=x2入手推導(dǎo)出曲線上動點到某定點和某定直線距離相等.學(xué)生紛紛動筆變形、拼湊,找到了定點F(0,14)和定直線l:y=-14,一元二次函數(shù)y=x2的圖像上的動點P與定點F的距離正好等于它到直線l的距離,完全符合現(xiàn)在的定義,這樣的選題和探究完全在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi),學(xué)生很自然的入手解決,使得新舊知識能夠自然的同化.

    4 數(shù)學(xué)選題要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是清楚的、嚴密的”

    數(shù)學(xué)是清楚的,清楚的前提,清楚的推理,得出清楚的結(jié)論,數(shù)學(xué)的命題,對就是對,錯就是錯,不存在絲毫的含糊.在數(shù)學(xué)選題中多選一些能夠讓學(xué)生自己找出錯誤解答之處和相應(yīng)的原因而不是等待教師的批改.從而培養(yǎng)學(xué)生的辨別能力,清楚地知道自己解對還是解錯,增強防御“陷阱”的經(jīng)驗.

    案例5 (1)判斷命題的真假:“已知a,b是實數(shù),若a>b,則a>b.”

    這樣的數(shù)學(xué)問題答案是清楚的,因為只需從逆否命題角度清楚地知道是假的,但很多學(xué)生會認為這個命題真的.選擇這樣的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生自己找出問題的答案和出錯之處,不但能鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法,而且還能培養(yǎng)學(xué)生的辨別能力.(逆否命題:“已知a,b是實數(shù),若a>b,則a>b.”)

    (2)命題p:四條邊相等的四邊形是正方形(假命題).命題q:四個角相等的四邊形是正方形(假命題).請構(gòu)造命題p∧q.

    很多同學(xué)答案是:四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形(真命題),但依據(jù)真值表又清楚的知道這樣構(gòu)造的命題是不對的,問題出在何處?正確的復(fù)合命題“p∧q”又應(yīng)該如何構(gòu)造?這個命題又是什么命題呢?等,我相信學(xué)生自己會探究清楚.

    數(shù)學(xué)是嚴密的,為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性,可選一些開放性大的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生去嘗試,去“碰撞”和“跌跤”,讓學(xué)生充分“暴露問題”,然后順其錯誤或遺漏認真剖析,不斷引導(dǎo),使學(xué)生恍然大悟,留下深刻印象.更主要地是能使學(xué)生參與討論,在討論中自覺地辨析正誤,取得學(xué)習(xí)的主動權(quán).英國心理學(xué)家貝恩布里奇說過:“差錯人皆有之,作為教師不利用是不能原諒的.”

    案例6 若函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1圖象都在x軸上方,求實數(shù)a的取值范圍.

    學(xué)生因為思維不嚴密,往往錯解為a>0且(2a)2-4a<0,即0

    案例7 雙曲線x225-y2144=1上一點P到右焦點的距離是5,則下面結(jié)論正確是().

    A.P到左焦點的距離為8

    B.P到左焦點的距離為15

    C.P到左焦點的距離不確定

    D.這樣的P點不存在

    根據(jù)學(xué)生平時練習(xí)的反饋信息,有兩種錯誤解法(都錯誤的認為結(jié)論是B):

    錯解1:設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=±10,

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