高三復(fù)習(xí)課上的一次“小題大做”

鄭飛龍

自恢復(fù)高考制度以來，已近三十個春秋，很多做法似乎已經(jīng)成為固定經(jīng)驗，“大容量、高密度、快節(jié)奏”幾乎成了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主旋律.筆者作為一名高三數(shù)學(xué)老師，也毫不例外地承襲這一做法，“做不完的練習(xí)、講不完的題目”，為了所謂的教學(xué)進(jìn)度，常常是“揮汗如雨、一講到頭”，留給學(xué)生思考的時間幾乎沒有.幾年下來，教學(xué)成績還算不錯，這使得筆者更加相信這種做法的合理性.但是今年初的一節(jié)復(fù)習(xí)課，卻使筆者陷入了深思.

一、教學(xué)片段

在高三一節(jié)復(fù)習(xí)課上，筆者計劃分析一張模擬試卷，由于需要分析的題目較多，筆者有意加快了講解的速度.試卷中有這樣一道題目：

數(shù)列{an}中，a1=12,an+an+1=32n+1,n∈N*，則limn→∞(a1+a2+…+an)=().

A.1 B.12 C.32 D.3

師：同學(xué)們，要解決這個題目，首先應(yīng)該想到求出數(shù)列{an}的通項公式.那么，我們該如何來求它的通項公式呢?

此時，筆者環(huán)顧了一下教室，發(fā)現(xiàn)有幾個同學(xué)開始思考，用筆在紙上畫著，但是有些學(xué)生好象并沒有思考筆者的問題，似乎對筆者的問題不為以然，筆者不禁心生疑惑，難道這種做法不妥?還是學(xué)生另有想法?筆者陷入了矛盾之中，如果讓他們各抒己見，今天的任務(wù)鐵定完成不了，但是如果按自己的思路講下去，似乎并沒有多少人關(guān)注，收效肯定有限.經(jīng)過權(quán)衡，筆者決定傾聽他們的意見之后再作決定.

師：我注意到有些同學(xué)似乎另有想法，有沒有更為簡潔的方法?

生甲：我們不用求通項公式，把an+an+1看作一個新數(shù)列{bn}，則2(a1+a2+…+an)=a1+b1+b2+…+bn-1+an，而{bn}是一個公比小于1

的等比數(shù)列，a1是常數(shù)，它們的極限都可求出，而an的極限…….

(甲遇到了新問題，an的極限他沒辦法解決了，學(xué)生們在竊竊私語：那不是又要求數(shù)列{an}的通項公式嗎?筆者為生甲的觀察能力感到高興，這確實是一種好的方法.)

師：an的極限該如何求呢?是不是必須要求an的通項公式?

生乙：老師,an的極限是0.

師：為什么?

生乙：因為limn→∞(an+an+1)=0,而limn→∞an=limn→∞an+1,所以limn→∞an=0.

師：生甲和生乙兩名同學(xué)都能從整體出發(fā)，充分利用了題目條件的特征，他們提供的方法非常好，回避了求通項公式這個難點，這種放眼全局、從整體到局部的觀念值得大家借鑒.

(講到這里，筆者對剛才的解法還是滿意的，甚至覺得這種方法比筆者剛才要提供的解法好，考慮到進(jìn)度的關(guān)系，筆者打算把求通項公式的問題留給學(xué)生課余時間解決，接下去講解另外一個問題.)

師：如果要先求出數(shù)列{an}的通項公式，然后再求極限，比剛才的做法要繁復(fù)一點，是不是呢?由于時間的關(guān)系，我們把這個問題留給大家課余時間探討，下面我們看下一道題……

(就在這時，我的話被平時發(fā)言并不大踴躍的生丙打斷了.)

生丙：通過求通項公式解決本題很簡單啊!

(眾生的目光一齊投向生丙，對于本來就不太發(fā)言的生丙，如果不傾聽他的意見，必將挫傷他的積極性.)

師：丙同學(xué)，請你介紹一下你的方法好嗎?

生丙：根據(jù)這個遞推關(guān)系，我們很容易求出數(shù)列的前幾項并猜測出數(shù)列的通項公式an=12n,雖然此猜想還需要證明，但作為選擇題，我們不需小題大做，這樣就可以很快地選出答案!

師：丙同學(xué)的方法很好，從特殊到一般，沿著歸納、猜想、證明這一思路，得到了問題的解，這也是科學(xué)研究中應(yīng)用最廣泛的思維方式，另外，丙同學(xué)積極發(fā)表自己見解的精神也值得大家學(xué)習(xí)!

(生丙的發(fā)言使課堂氣氛變得活躍起來，大多數(shù)同學(xué)躍躍欲試，想得到更好的方法，筆者意識到，如果能對這一問題做更進(jìn)一步的探討，才能使問題解決得更加趨于完美.)

師：丙同學(xué)剛才提到了“小題大做”，誠然，解決一道小題目，在做法上沒有必要小題大做，但是在學(xué)習(xí)的過程中，適當(dāng)?shù)摹靶☆}大做”卻是必要的，今天我們就來個“小題大做”(眾生笑)現(xiàn)在請大家思考，根據(jù)遞推關(guān)系求通項除了歸納法，還有什么方法?

眾生：把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、等差數(shù)列或者可以利用累加、累乘等常見方法求通項的情形……

師：類似于an+an+1=32n+1這個遞推關(guān)系求通項的問題，我們以前碰到過嗎?

生丁：我們曾經(jīng)做過一道題目，是根據(jù)an+1-3an=2n+1這個遞推關(guān)系求通項.

師：解法如何?

生：兩邊同除以2n+1，然后構(gòu)造新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

師：很好，丁同學(xué)能夠聯(lián)想、類比曾經(jīng)解決過的題目，那你們再看看這個題目中的遞推關(guān)系，能夠解決了嗎?

眾生：(恍然大悟地)：噢!兩邊同乘以2n+1.

師：同學(xué)們，我們把遞推關(guān)系變形為2n+1·an+1-1=-2(2na

n-1)，則數(shù)列{2nan-1}就是等比數(shù)列了，是嗎?

眾生：對!

師：那么請大家求出這個等比數(shù)列的通項!

(學(xué)生們迅速展開了運算)

生戊：(驚訝地)：老師，不好了，首項21a1-1=0!

(同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了這個問題，開始討論)

師：首項是零，那自然不是等比數(shù)列了，怎么辦呢?剛才的方法是不是要放棄了?

生庚：那所有項不就全為0了嗎?所以an=0.

師：很好!

師：剛才我們利用多種思路探討了這個題目，大家采用了從整體到局部、從特殊到一般、聯(lián)想類比等重要的思維方式，這些思維方法是我們解決問題的重要方法.通過這個題目，我們對利用遞推關(guān)系求通項的一般方法有了更系統(tǒng)的認(rèn)識，探討過程中出現(xiàn)的問題也是我們要注意的.

這時候，半節(jié)課已經(jīng)過去，原來的課堂計劃肯定是完不成了，但是筆者對剛才的“小題大做”感到非常滿意.

二、課后反思

課后，筆者對本節(jié)課進(jìn)行了反思，如果按照原計劃進(jìn)行，學(xué)生所得到的東西是否更多?答案幾乎是肯定的，如果不是“小題大做”，這節(jié)課就是一節(jié)非常普通的試卷講評課，學(xué)生的收益肯定要少得多!由此看來，我們平常的教學(xué)真的有問題嗎?筆者不禁陷入了思索.

1.為什么一定要追求“高、大、全”?

就課程背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)要合理使用教材和資料，高三復(fù)習(xí)也不例外，不能因為對象是高三學(xué)生，就在選題上注重“高、大、全”，追求“新、奇、難”，對那些既是基礎(chǔ)又富有內(nèi)涵的題目不屑一顧，從而忽視了對學(xué)生進(jìn)行基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)技能的強化.本節(jié)課之所以成功，就是緣于能夠“小題大做”，充分發(fā)揮小題目的內(nèi)涵，以小見大.

2.為什么總是要剝奪學(xué)生思考、發(fā)言的機會?

“課堂教學(xué)中要注重發(fā)揮學(xué)生的主體作用”，

是每位老師耳熟能詳?shù)囊痪湓?，但是要真正在教學(xué)過程中落實卻并非易事.尤其是高三復(fù)習(xí)課，我們總是抱怨時間不夠用，課堂上為了所謂的進(jìn)度，很少聽取學(xué)生的見解，“講臺上，老師揮汗如雨；課桌旁，學(xué)生昏昏欲睡”，本節(jié)課上，我們可以設(shè)想，如果筆者不去傾聽學(xué)生的見解，將會是怎樣的景象?

“人的思想有多遠(yuǎn)，他就能走多遠(yuǎn)”.學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力是不可以簡單地估量的，只要我們給他們充分的思維時間和空間，他們的探索活動和探索成果將會遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出我們的想象.

3.為什么總是事與愿違?

對學(xué)生的研究，特別是對學(xué)生學(xué)情的調(diào)查，我們可能會得出這樣的事實，他正好與我們常態(tài)的判斷相反：

我們不是抓松了，而是太緊了，大量的作業(yè)充斥著休息的時間和思考的時間；

我們不是講虛了，而是太實了，不是從學(xué)科整體的高度分析問題，從知識網(wǎng)絡(luò)交匯出思考解法，而是讓學(xué)生在具體的題型訓(xùn)練和具體的解題術(shù)中不能自拔；

我們不是練得太少了，而是太多了，復(fù)習(xí)當(dāng)然是重復(fù)，但重復(fù)過多就會有抑制情緒，過多的

訓(xùn)練會產(chǎn)生逆反心理.［1］

為什么事與愿違?就是沒有牢固地樹立“以人為本”的意識.高考復(fù)習(xí)必須以學(xué)生為本，重視學(xué)生的心理現(xiàn)象，其中包括焦慮、厭倦情緒、恐懼心理.一個人面臨著前途攸關(guān)的決策時，是非常脆弱的，我們必須相當(dāng)慎重，小心呵護(hù).

數(shù)學(xué)課作為高考的主干課程，學(xué)生的重視程度毋庸置疑，但是很多高三學(xué)生卻發(fā)出了“數(shù)學(xué)啊!想說愛你不容易”的感慨，為什么會這樣呢?筆者以為，這正是每一位數(shù)學(xué)老師需要思索的.

參考文獻(xiàn)

［1］裴光亞.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的話題與認(rèn)識.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2006，3.

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