談概率中變角度思考的誤區(qū)

毛浙東

我們在做概率題目時，常常遇到這樣的情況：一道題目如果變換角度來思考，得到的答案跟原來截然不同，兩種方法看上去都沒有錯誤，使得我們很難取舍.實際上，這是陷入了變角度思考的誤區(qū).筆者將這些誤區(qū)作了歸納，現(xiàn)以具體例子來逐一說明.

一、錯用公式

錯誤運(yùn)用概率公式是我們出錯的重要原因，比如事件A與事件B不互斥，卻在用公式P(A+B)=P(A)+P(B)；事件A與事件B不獨(dú)立，卻在用公式P(A·B)=P(A)·P(B)；在不能保證每次試驗的概率不變的情況下，卻在運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗公式計算等等，這些都是陷入了“錯用公式”的誤區(qū).

例1 甲參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，他能答對其中的6道，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道進(jìn)行測試，至少答對2道才算合格，求此人考試合格的概率.

原解：此人從10道題中選3題來答，有C310種可能，而他要求能考試合格，則有兩類可能：一類是從會做的6題中選3題來答，有C36種可能，一類是從會做的6題中選2題，從不會做的4題中選1題來答，有C26C14種可能.故所求概率為P=C36+C26C14C310=23.

變解：因為此人會回答10道中的6道，故其答對題目的概率是610，要求3道之中至少答對2道才算合格，則有兩類可能：要么他答對了3道中的2 道，要么他3道都答對了.故所求概率為P=C23×(610)2×(410)+C33×(610)3=81125.

評注：原解是正確的，而變解卻是錯誤的，原因是此解法忽視了獨(dú)立重復(fù)試驗要求每次答對題的概率是不變的這個事實.在甲做第一題時，答對的概率的確為610，但答完第一道題后，若他第一題答對，則他答對下一題的概率變小為59，若他第一題答錯，則他答對下一題的概率變大為69，故不能保證每次答對的概率不變，所以不能用獨(dú)立重復(fù)試驗公式計算.

二、思路混亂

做概率題要求思路清晰，思維嚴(yán)密，尤其要保證前后一致，但對初學(xué)者來講，往往會陷入“思路混亂”的誤區(qū).

例2 拋擲三枚硬幣，并觀察各枚落下后是國徽向上或是麥穗向上，問三枚硬幣向上的一面完全相同的概率是多少?

原解：三枚都是麥穗向上的概率是12×12×12=18，三枚都是國徽向上的概率是12×12×12=18，所以三枚硬幣向上的一面完全相同的概率是14.

變解：拋起的三枚硬幣落下后至少有兩枚向上的一面是相同的，而第三枚硬幣落下后國徽向上和麥穗向上的概率各占12，由此可知，三枚硬幣落下后全部一樣的概率是12.

評注：乍一看變解好象也是對的，但實質(zhì)上“至少兩枚”和“第三枚”兩者并非并行的兩個概念，它們是交錯的，事實上“至少兩枚”已經(jīng)把“第三枚”包括在內(nèi)了，有了前面的“至少兩枚相同”的結(jié)論，第三枚就不再自由了.因此，變解2錯在解題思路混亂，導(dǎo)致重復(fù)計算，使概率從正確的14變大為了12.

三、曲解題意

有些時候，我們在審題時不仔細(xì)，沒有嚴(yán)格按照題目的要求操作，而是憑主觀感覺來做題，從而陷入了“曲解題意”的誤區(qū).

例3 一棵樹如圖所示，在樹上有兩個果子(不妨設(shè)為1號果、2號果)，一只猴子隨機(jī)從底部向上爬，則這只猴子能摘到果子的概率是多少?

原解：猴子爬到第一個分枝時有三種選擇，走每個分枝的概率都為13，若猴子沿能采到1號果子的分枝向前爬行，則在第二個分叉時，能采到1號果子的概率是12.所以這只猴子能采到1號果子的概率為13×12=16.同理，猴子采到2號果子的概率也為16，所以猴子采到果子的概率為16+16=13.

變解：猴子爬行的路線有7條，能采到果子的路線有2條，所以概率為27.

評注：變解曲解了題意.事實上，猴子到達(dá)每個枝頭的概率是不相等的，并

非都是17，因為猴子不是小鳥，不能飛到枝頭，它只能老老實實順著樹枝往上爬，所以它必須先面臨第一個分岔口的3個選擇，它走任意一條路口的概率都是13，然后它如果想到含有兩個子分支的枝頭，還要面臨第二個分岔，選擇任意一個分岔的概率都為12，根據(jù)乘法原理，我們有13×12=16；而它如果想到含有三個子分支的枝頭，也要面臨第二個分岔，選擇任意一個分岔的概率都為13，根據(jù)乘法原理，我們有13×13=19，這個概率要小于它到達(dá)含有兩個子分支的枝頭的概率.當(dāng)然，如果題目改成小鳥采果子的話，則小鳥飛到任意一個枝頭的概率都是17，此時變解就是正確的.

四、未挖隱含

很多概率題目敘述很簡短，但里面往往蘊(yùn)涵了豐富的隱含條件，如果我們沒能深刻挖掘，就會陷入“未挖隱含”的誤區(qū).

例4 把一條木棒隨機(jī)地折成三段，求這三段可以構(gòu)成三角形的概率.

原解：設(shè)木棒的長度為a，被折成三段后其中兩段的長度分別為x和y，則第三段長度為a-x-y，我們有：0

0

0

0

0a(1)

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則所有情形可以用圖中的大三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)來表示.又因為能構(gòu)成三角形，則還應(yīng)符合下列條件：y+(a-x-y)>x

x+(a-x-y)>y

x+y>a-x-yx

y

x+y>a2 (2)

則所有能構(gòu)成三角形的情形可以用陰影三角形來表示，故所求概率應(yīng)該等于圖中陰影部分的面積S1和大三角形面積S之比，即P=S1S=12(a2)212a2=14.

變解：設(shè)木棒的長度為a，如果最長的一段小于其余兩段之和，也就是最長的一段比整個木棒長度的一半還要短，那么所折成的三段就能構(gòu)成一個三角形，而一根木棒折下一段的長度小于原長的一半的概率是12，所以由一根細(xì)棒折成的三段圍成三角形的概率是12.

評注：原解深刻地挖掘了題目的所有隱含條件，而變解卻沒有做到.實際上

，“最長的一段”的長度z的范圍不是0

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文