２００５年高考全國(guó)卷２２題的多解和推廣

劉成龍　余小芬

2005年高考全國(guó)卷Ⅰ(理)22題是一道非常好的題目.該題涉及了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等高考主干知識(shí).考查了分類與整合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯推理能力和自主探索能力，筆者在本文中將給出該題目第(Ⅱ)小題的多種解法和推廣，以饗讀者!

題目(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)·log2(1-x)(0

)的最小值；

(2)設(shè)正數(shù)p1、p2、p3、…、p2n滿足p1+p2+p3+…+p2n=1，證明p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

一、對(duì)第(2)小題解法的研究

解法1：(i)當(dāng)n=1時(shí)，由(1)知命題成立.

(ii)假定當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)p1、p2、p3、…、p2n滿足p1+p2+p3+…+p2k=1，則p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2klog2p2k≥-k.當(dāng)n=k+1時(shí)，若正數(shù)p1、p2、p3、…、p2k+1滿足p1+p2+…+p2k+1=1，令x=p1+p2+…+p2k，q1=p1x,q2=p2x,…,q2k=p2kx,則q1、q2、…、q2k滿足q1+q2+…+q2k=1.由歸納假定知q1log2q1+q2log2q2+…+q2klog2q2k≥-k.所以p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k=x［q1log2(xq1)+q2log2(xq2)+…+q2klog2(xq2k)］≥x(-k)+xlog2x.①

同理，由p2k+1+p2k+2+…+p2k+1=1-x可得p2k+1log2p2k+1+…+p2k+1log2p2k+1≥(1-x)(-k)+(1-x)log2(1-x)②，綜合①、②兩式得p1log2p1+p2log2p2+…+p2k+1·log2p2k+1≥［x+(1-x)］(-k)+xlog2x+(1-x)log2(1-x)≥-(k+1).即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

根據(jù)(i),(ii)可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.

解法2：令函數(shù)g(x)=xlog2x+(c-x)·log2(c-x)(常數(shù)c>0，x∈(0,c))，那么g(x)=c［xclog2xc+(1-xc)log2(1-xc)+log2c］，利用(1)知，當(dāng)xc=12(即x=c2)時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值.于是對(duì)任意x1>0,x2>0,都有x1log2x1+x2log2x2≥2·x1+x22log2(x1+x22)=(x1+x2)［log2(x1+x2)-1］.①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

(i)當(dāng)n=1時(shí)，由(1)知命題成立.

(ii)設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)p1、p2、…、p2k滿足p1+p2+…+p2k=1,則p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥-k.當(dāng)n=k+1時(shí)，p1、p2、…、p2k+1滿足p1+p2+…+p2k+1=1,令H=p1log2p1+p2log2p2+…+p2k+1-1log2p2k+1-1+p2+{k+1}log2k+1，由①得H≥(p1+p2)［log2(p1+p2)-1］+…+(p2k+1-1+p2k+1)·［log2(p2k+1-1+p2k+1)-1］,因?yàn)?p1+p2)+…+(p2k+1-1+p2k+1)=1，由歸納假設(shè)(p1+p2)log2(p1+p2)+…+(p2k+1-1+p2k+1)·log2(p2k+1-1

+p2k+1)≥-k，得到H≥-k-(p1+p2+…+p2k+1-1+p2k+1)=-(k+1).即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

根據(jù)(i),(ii)可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.

解法3：設(shè)g(x)=xlog2x-xln2+1ln2，于是g′(x)=log2x，當(dāng)0

解法4：設(shè)h(x)=xlog2x(00，因此，h(x)=xlog2x為x∈(0，1)上的凸函數(shù)，由Jensen不等式可得p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥2n·(p1+p2+p3+…+p2n2n)·log2(p1+p2+p3+…+p2n2n)，又因?yàn)閜1+p2+p3+…+p2n=1，所以p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥-n.

評(píng)注：解法1、2都運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法，屬于常規(guī)的解法，解題的關(guān)鍵是把2

n+1項(xiàng)向2n項(xiàng)轉(zhuǎn)換，解答過(guò)程中涉及的運(yùn)算量較大；解法3的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlog2x-xln2+1ln2，再利用導(dǎo)數(shù)法得到不等式xlog2x≥xln2-1ln2，涉及的運(yùn)算量較小；解法4抓住了題目的

凸函數(shù)背景，運(yùn)用Jensen不等式求解，解答過(guò)程最簡(jiǎn)捷.

二、對(duì)第(2)小題的推廣

對(duì)第(2)小題的推廣如下：

推廣1 設(shè)正數(shù)p1、p2、p3、…、p2n滿足p1+p2+p3+…+p2n=k，則p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+p2nlog2p2n≥klog2k-kn.

推廣2 設(shè)正數(shù)p1、p2、p3、…、pmn(m∈N+)滿足p1+p2+p3+…+pmn=k，則p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+pmn·log2pmn≥k(log2k-nlog2m).

推廣3 設(shè)正數(shù)p1、p2、p3、…、pmn(m∈N+)滿足p1+p2+p3+…+pmn=k，則p1logap1+p2logap2+p3logap3+…+pmn·logapmn≥k(logak-nlogam)(a>1).

推廣4 設(shè)正數(shù)p1、p2、p3、…、pmn(m∈N+)滿足p1+p2+p3+…+p2n=k，則p1log2p1+p2log2p2+p3log2p3+…+pmn·logapmn≤k(logak-nlogam)(0

運(yùn)用Jensen不等式很容易證明上述推廣，證明過(guò)程略.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文