例析平面向量的幾個綜合應(yīng)用的常規(guī)處理方法

邢　飛

2003年江蘇省高考自主命題以來，向量等新增內(nèi)容的試題已成為高考試題的亮點.就向量部分的試題來看，基本上都是“以能力立意命題”，主要考查學(xué)生對抽象的向量符號的理解及靈活解決問題的能力.由于向量知識與三角函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容均有一種“天然”的聯(lián)系，因而高考在這些知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題是必然的.然而，平時老師的教或同學(xué)們的學(xué)，由于受傳統(tǒng)教與學(xué)方法的影響，在知識的融會貫通方面做得不是很好，教學(xué)時往往割裂它們的聯(lián)系，本文試舉例說明平面向量與三角函數(shù)及解析幾何綜合問題的常規(guī)處理方法，以使這類綜合問題在平時的教學(xué)過程中能得到充分的重視.

例1 平面直角坐標(biāo)系有點P(1，玞os玿),Q(玞os玿,1),x∈［-π4,π4］，O為坐標(biāo)原點.(1)求向量OP吆蚈Q叩募薪鉛鵲撓嘞遙并表示成x的函數(shù)；(2)求θ的最值.

解：(1)由OP?OQ=|OP遼?|OQ遼?玞osθ，得2玞os玿=1+玞os2x?玞os2x+1?玞osθ，

∴玞osθ=2玞os玿1+玞os2x=f(x).

(2)玞osθ=f(x)=2玞os玿1+玞os2x=2玞os玿+1玞os玿,且x∈［-π4,π4］,∴玞os玿∈［22,1］.令u=玞os玿+1玞os玿=v+1v，其中v=玞os玿∈［22,1］.易證u=v+1v在［22,1］上單調(diào)遞減，∴v+1v∈［2,322］,就是2≤玞os玿+1玞os玿≤322,∴223≤f(x)≤1,即223≤玞osθ≤1.

∴θ玬ax=玜rccos223,θ玬in=0.

評注：例1主要是利用向量的數(shù)量積公式建立起玞osθ與x的函數(shù)關(guān)系式，將平面向量與三角函數(shù)綜合問題轉(zhuǎn)化為普通的函數(shù)最值問題，即利用y=x+mx型的函數(shù)性質(zhì)求出最值.

平面向量與三角函數(shù)綜合問題主要是依托平面向量的數(shù)量積公式，通過形與數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)有機(jī)整合.

例2 已知兩點M(-1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN擼琍M?PN擼琋M?NP叱曬差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線?(2)若點P的坐標(biāo)為(x0,y0)，記θ為PM哂隤N叩募薪牽求玹anθ.

分析：在引入向量的坐標(biāo)表示后，可以使向量運算代數(shù)化，這樣可以將形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.求解這類問題的關(guān)鍵是：先把向量用坐標(biāo)表示，再用解析幾何知識結(jié)合向量數(shù)量積公式使問題獲解.

解：(1)記P(x,y)，由M(-1，0)，N(1，0)，得PM=-MP=(-1-x,-y),PN=-NP擢=(1-x,-y),∵M(jìn)N=-NM=(2,0),∴MP擢?MN=2(1+x),∴PM?PN=x²+y2-1,NM?NP=2(1-x).由MP?MN擼琍M?PN擼琋M?NP呤槍差小于零的等差數(shù)列得x²+y2-1=12［2(1+x)+2(1-x)］,

2(1-x)-2(1+x)<0,即x²+y2=3,

x>0,∴點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓(不含端點).

(2)∵點P的坐標(biāo)為(x0,y0)，PM?PN=x02+y02-1=2，|PM遼?|PN遼=(1+x0)2+y02?(1-x0)2+y02=

(4+2x0)(4-2x0)=24-x02.

∴玞osθ=PM?PN遼PM遼|PN遼=14-x02,

∵0

評注：例2利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式整理出圓方程，從而得到軌跡，第二問又巧妙結(jié)合三角運算，不失為一道好題.

例3 一條斜率為1的直線l與離心率為22的橢圓C：x²a2+y2b2=1(a>b>0)交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且OP?OQ=-3,狿R=3RQ擼求直線l與橢圓C的方程.

解：∵橢圓離心率為22,∴ca=22,a2=2b2,所以橢圓的方程為x²2b2+y2b2=1.設(shè)l的方程為y=x+m，P(x1,y1),Q(x2,y2),

由x²2b2+y2b2=1,

y=x+m,消去y得3x²+4mx+2m2-2b2=0.△=16m2-4?3(2m2-2b2)=

8(-m2+3b2)>0,∴3b2>m2(*)

∴x1+x2=-43m①，

x1x2=23(m2-b2)②.

∵OP?OQ=-3,∴x1x2+y1y2=-3.而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2.所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=-3，即43(m2-b2)-43m2+m2=-3,所以有3m2-4b2=-9③，又R(0,m)，PR=3RQ,∴(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),從而-x1=3x2④.

由①，②，④得3m2=b2⑤，由③，⑤解得b2=3,m=±1適合(*).所以所求直線l的方程為y=x+1或y=x-1；橢圓C的方程為x²6+y23=1.

評注：例3主要是利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，溝通向量與解析幾何的聯(lián)系，求解曲線的軌跡方程.這也是高考命題的重要題型.

我們再看二道例題.

例4 如圖，已知點F(1，0)，直線l:x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且QP?QF=FP?FQ.

(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.

(1)已知MA=λ1AF,MB=λ2BF擼求λ1+λ2的值；(2)求|MA遼?|MB遼的最小值.

解：(Ⅰ)設(shè)點P(x,y)，則Q(-1,y)，由QP?QF=FP?FQ叩(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y)，化簡得C：y2=4x.

(Ⅱ)(1)設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m≠0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又M(-1,-2m)，聯(lián)立方程組y2=4x,

x=my+1,消去x得y2-4my-4=0,△=(-4m)2+16>0,y1+y2=4m,

y1y2=-4.由MA=λ1AF,MB=λ2BF叩脃1+2m=-λ1y1,y2+2m=-λ2y2，整理得λ1=-1-2my1,λ2=-1-2my2,∴λ1+λ2=-2-2m(1y1+1y 2)=-2-2m?y1+y2y1y2=0.

(2)|MA遼?|MB遼=(1+m2)2|y1-yM|?|y2-yM|=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)+yM2|=(1+m2)|-4+2m×4m+4m2|=(1+m2)(4+4m2)=4(2+m2+1m2)≥4(2+2m2?1m2)=16.當(dāng)且僅當(dāng)m2=1m2，即m=±1時等號成立，所以|MA遼?|MB遼 的最小值為16.

例5 已知雙曲線C：x²a2-y2b2=1(a>0,b>0)，B是右頂點，F(xiàn)是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一象限的漸近線的垂線l，垂足為P.如圖所示.

(1)求證：PA?OP=PA?FP;(2)若l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的范圍.

解：(1)直線l的方程為y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),

y=abx.解得P(a2c,abc).

因為|OA遼、|OB遼、|OF遼成等比數(shù)列，所以A(a2c,0)，故PA⊥x軸，如右圖所示.從而PA?OP-PA?FP擢=PA?OF=0,∴PA?OP=PA?FP.

(2)由y=-ab(x-c),

b2x²-a2y2=a2b2.得b2x²-a4b2?(x-c)2=a2b2.即(b2-a4b2)x²+2a4b2cx-(a4c2b2+a2b2)=0,∵x1x2=-(a4c2b2+a2b2)b2-a4b2<0,∴b4>a4，即b2>a2,c2-a2>a2.所以e2>2，即e>2.

解析幾何是歷年數(shù)學(xué)高考舞臺上必唱“主角”之一，近年來它在高考卷中一直占有較重比重，命題人往往以解析幾何的傳統(tǒng)內(nèi)容為載體，融合向量等其他相關(guān)知識點，設(shè)計出背景新穎、能力要求廣泛的綜合試題，借以考查學(xué)生的運算能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力，其中思維是支柱，運算是主體，應(yīng)用是歸縮.通過以上例析，旨在深化對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法的理解和掌握，提高解題的靈活性和綜合運用知識的能力，增強(qiáng)應(yīng)試能力.由于平面向量與解析幾何的綜合問題背景新穎，內(nèi)在聯(lián)系密切，思維方法靈活，展望新一年的各地數(shù)學(xué)高考，我們有理由大膽預(yù)測，平面向量與解析幾何的綜合問題必將再次 受到命題者的青睞.