技巧的誤區(qū)

湯建鋒

數(shù)學(xué)解題技巧是數(shù)學(xué)的靈魂，它既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活多變，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性.然而，技巧有時(shí)卻是一把雙刃劍，許多同學(xué)使用不當(dāng)，反而落入技巧的陷阱.本文結(jié)合幾個(gè)案例來(lái)談?wù)勈褂眉记傻恼`區(qū)，以供大家參考.

一、走下神壇的形

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，也是分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的有力工具，由于它的直觀、快捷，許多同學(xué)對(duì)它青睞有加，“言必形，形必果”，是很多人的解題信條，然而，形真的那么神嗎?

例1 (2006年陜西卷)已知函數(shù)f(x)=ax²+2ax+4(0

(A)f(x1)>f(x2) (B)f(x1)

(C)f(x1)=f(x2)

(D)f(x1)與f(x2)的大小不能確定

分析：許多同學(xué)看到此題馬上想到數(shù)形結(jié)合，f(x)的對(duì)稱軸為x=-1，作出函數(shù)圖像后卻發(fā)現(xiàn)由于a是變量，無(wú)法準(zhǔn)確判斷x1,x2與-1的位置關(guān)系，迫于無(wú)奈只好選D，然而我們?nèi)魪臄?shù)入手，直接作差f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)(x2+x1+2)=a(x2-x1)(3-a),答案一目了然，選A.

例2 函數(shù)f(x)=14x²,若存在實(shí)數(shù)t，使當(dāng)x∈［1,m］(m>1)時(shí)，f(x+t)≤x恒成立，求m的取值范圍.

分析：由f(x+t)≤x，得14(x+t)2≤x，即x²+(2t-4)x+t2≤0，x∈［1,m］(m>1)時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x²+(2t-4)x+t2，如圖1，則

g(1)=t2+2t-3≤0,

g(m)=m2+(2t-4)m+t2≤0，分析到此處，由于變量太多，大多數(shù)同學(xué)在此卡住，僅少數(shù)同學(xué)求出-3≤t≤1,再通過(guò)對(duì)稱軸x=2-t∈［1，5］，結(jié)合g(x)圖像勉強(qiáng)猜出1

正解：由14(x+t)2≤x，可得|x+t|≤2x，即-x-2x≤t≤-x+2x，x∈［1,m］時(shí)恒成立，則［-x-2x］玬ax≤t≤［-x+2x］玬in,-3≤t≤-(m-1)2+1,

∴-(m-1)2+1≥-3,∴1

評(píng)注：尺有所長(zhǎng)，寸有所短，任何一種方法，技巧都有其局限性.本題由于變量多，函數(shù)圖像位置不定，當(dāng)直觀靜止的圖形運(yùn)動(dòng)變化起來(lái)，許多同學(xué)就無(wú)所適從了，既然如此，我們不妨換個(gè)角度，拋開(kāi)形的束縛直接從數(shù)入手反而會(huì)柳暗花明又一春.

二、平平淡淡才是真

許多同學(xué)在解題時(shí)重技巧輕計(jì)算，奉奇思妙解為“陽(yáng)春白雪”，視常規(guī)解法為“下里巴人”，結(jié)果往往在“陽(yáng)春白雪”前碰壁，欲速則不達(dá).

例3 (07全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x.若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.

分析：不等式恒成立問(wèn)題主要有兩種方法：構(gòu)造新函數(shù)或分離參數(shù)法.構(gòu)造法往往要對(duì)參數(shù)分類討論，計(jì)算量大，所以大多數(shù)同學(xué)喜歡簡(jiǎn)潔明了運(yùn)算少的分離參數(shù)法.

解：由題意當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立；當(dāng)x>0時(shí)，可得a≤ex-e-x獂，即a≤［ex-e-x獂］玬in,設(shè)g(x)=ex-e-x獂,得g′(x)=(x-1)ex+(x+1)e-x獂²，令g′(x)=0,無(wú)法求出方程的根，故極值也無(wú)法求出.做到此處，只能“突然死亡”，功虧一簣.

正解：令g(x)=f(x)-ax，則g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a,(玦)若a≤2，當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，所以x≥0時(shí)，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax.

(玦i)若a>2，方程g′(x)=0的正根為x1=玪n玜+a2-42,此時(shí)，若x∈(0,x1)，則g′(x)<0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).所以，x∈(0,x1)時(shí)，g(x)

評(píng)注：在技巧碰壁時(shí)，驀然回首，才發(fā)現(xiàn)被忽視的卻是最有效的，繁瑣的往往是最簡(jiǎn)單的.

三、華山不止一條道

靈活多變的解題技巧有時(shí)也會(huì)轉(zhuǎn)化為定勢(shì).對(duì)任何一種技巧的強(qiáng)化，必然會(huì)加深解題時(shí)固定的思維傾向，使我們不假思索地進(jìn)入它所設(shè)定的路徑和圈套，一條道走到黑而渾然不覺(jué).

例4 x>0,y>0，x+y+1=xy，求2x+y的最小值.

錯(cuò)解：由xy=x+y+1≥2xy+1，得xy≥1+2，所以2x+y≥22xy≥22+4.

這是作業(yè)中大多數(shù)同學(xué)的答案，我覺(jué)得很奇怪，因?yàn)樵诨静坏仁降倪\(yùn)用中多次強(qiáng)調(diào)“相等”的重要性，按道理不可能犯這樣低級(jí)的錯(cuò)誤，問(wèn)了幾個(gè)同學(xué)，他們說(shuō)：我們也知道這方法不對(duì)，本來(lái)也不會(huì)這樣做的，因?yàn)榭吹綏l件中的x+y+1=xy，很容易想起逆代法，對(duì)等式兩邊同除以xy，得1x+1y+1xy=1,∴2x+y=(1x+1y+1xy)(2x+y)=3+yx+2xy+2y+1x，結(jié)果發(fā)現(xiàn)無(wú)法進(jìn)行下去，迫于無(wú)奈才用了第一種方法.

原來(lái)如此，許多同學(xué)看到等式中有x+y,xy很容易聯(lián)想到逆代法，卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)式中多了常數(shù)1，正是不起眼的“1”使同學(xué)們?cè)瓉?lái)順暢的思維阻塞，束手無(wú)策.

正解：由x+y+1=xy，得y=x+1x-1(x>1),∴2x+y=2x+x+1x-1=2(x-1)+2x-1+3≥7.

評(píng)注：世易時(shí)移，變法宜矣 ，在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到一些形似而質(zhì)異的問(wèn)題，若仍然生搬硬套則解題技巧反而會(huì)轉(zhuǎn)化為思維定勢(shì)，使解題者落入技巧的陷阱.

總之，任何事物都有其兩面性，解題技巧也不例外，它有時(shí)是一座橋，可以讓我們順利渡過(guò)問(wèn)題之河，有時(shí)卻象一堵墻，阻擋我們前進(jìn)的步伐.因此，我們?cè)谥匾曀耐瑫r(shí)應(yīng)保持清醒的認(rèn)識(shí)，以免步入技巧的誤區(qū).