一個(gè)普適于橢圓的幾何新特性的發(fā)現(xiàn)與證明

趙　燚

1 前言

本人在輔導(dǎo)高中數(shù)學(xué)課程時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)普適于橢圓的幾何新特性，在本文暫且稱其為橢圓的“焦弦定理”，查閱有關(guān)數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)手冊(cè)后，未見(jiàn)過(guò)類似的或近似的書面報(bào)道.

本文通過(guò)解析幾何的方法，對(duì)此橢圓的幾何新特性（“焦弦定理”）給予了證明，同時(shí)引入了“焦弦常數(shù)”的新概念，歡迎有關(guān)人士提出討論意見(jiàn).

2 橢圓幾何新特性――橢圓“焦弦定理”的證明

本文稱其為橢圓的“焦弦定理”可文字?jǐn)⑹鋈缦拢?/p>

橢圓上的任意一點(diǎn)，通過(guò)焦點(diǎn)的兩個(gè)焦弦共有四個(gè)焦半徑，相交的兩個(gè)焦半徑分別與其在同一焦弦上的另一個(gè)焦半徑之間形成兩個(gè)比值，兩個(gè)比值之和是一個(gè)定值，此稱其為“焦弦常數(shù)”，即：兩倍的長(zhǎng)軸平方與焦距平方之和除以長(zhǎng)軸平方與焦距平方之差.

過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1上的任意點(diǎn)A，分別作過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的焦弦，形成四個(gè)焦半徑AF1、AF2、F1B、F2C，那么兩個(gè)相交的焦半徑AF1、AF2分別與其在一條焦弦上的長(zhǎng)軸另一側(cè)的焦半徑F1B、F2C之間的比值A(chǔ)F1/ F1B、AF2/ F2C，隨著點(diǎn)A移動(dòng)比值一直在變化，但是兩個(gè)比值之和是一個(gè)常數(shù)，此稱其為“焦弦常數(shù)”：Fc=2×a2+c2a2-c2，其中a為半長(zhǎng)軸，圖1c為半焦距.

如圖1所示，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0,y0），AF1F1B=λ1，AF2F2C=λ2，

應(yīng)用定比分點(diǎn)定理，對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F1則有： -c=x0+λ1xB1+λ1和0=y0+λ1yB1+λ1,

可以解得：xB=-（1+λ1)c+x0λ1, yB=-y0λ1.

同理，對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F2可以解得C點(diǎn)坐標(biāo)：

xc=（1+λ2)c-x0λ2，yc=-y0λ2

且又因?yàn)閏2=a2-b2，A、B、C三點(diǎn)在橢圓上，可得以下三式：

x20a2+y20a2-c2=1①

1a2×［-（1+λ1)c+x0λ1］2+(-y0λ1)2a2-c2=1②

1a2×［（1+λ2)c-x0λ2］2+(-y0λ2)2a2-c2=1③

①×a2×(a2-c2)－②×a2×(a2-c2)×λ21

得： -［(1+λ1)2c2+2x0(1+λ1)c］=a2(1-λ21)④

①×a2×(a2-c2)－③×a2×(a2-c2)×λ22

得：-［(1+λ2)2c2-2x0(1+λ2)c］=a2(1-λ22)⑤

④×［-1(1+λ1)c］+⑤×［-1(1+λ2)c］

得：(1+λ1)c+(1+λ2)c=［a2(-1+λ1)+a2(-1+λ2)］×c-1

解此式得：橢圓的“焦弦常數(shù)”Fc=λ1+λ2

=2×a2+c2a2-c2

3 結(jié)論、推論及建議：

1、 本文所稱的“焦弦定理”存在，并可通過(guò)解析幾何予以證明.

2、 “焦弦常數(shù)”相同的橢圓具有相似性，或相似的橢圓有相同的“焦弦常數(shù)”.

3、 本文所稱的“焦弦定理”對(duì)中學(xué)生了解橢圓的基本幾何特性有一定作用，建議有關(guān)專家學(xué)者在編寫教材或參考資料時(shí)，給于闡述.

參考文獻(xiàn)

［1］ 數(shù)學(xué)（全日制高級(jí)中學(xué)教科書）第一冊(cè)（下） 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著北京2005.11

［2］ 名師博客.高考總復(fù)習(xí). 數(shù)學(xué) 魏萬(wàn)慶主編北京光明日?qǐng)?bào)出版社2007.3

作者簡(jiǎn)介

趙燚，1964年8月生，現(xiàn)任鄭州磨料磨具磨削研究所檢測(cè)儀器設(shè)備部副主任，高級(jí)工程師，鄭州市第十一屆青聯(lián)委員，河南省硅酸鹽學(xué)會(huì)會(huì)員.1985年至今一直從事超細(xì)磨料、精細(xì)陶瓷、人造金剛石制品技術(shù)、檢測(cè)儀器與設(shè)備的研究開(kāi)發(fā)與應(yīng)用技術(shù)研究.

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