高考概率與統(tǒng)計應用問題考點分析

王　卜

1 試題統(tǒng)計分析

隨著國家新課程改革標準對加強學生應用意識和能力要求的確認，在高考中以體現(xiàn)學生應用知識解決實際問題的應用問題，現(xiàn)已成為全國高考試題不可或缺的內(nèi)容，分值基本穩(wěn)定在10％-15％左右，且呈上升趨勢，然而，從歷年發(fā)布的高考試卷分析中不難發(fā)現(xiàn)，應用問題一直是難以克服的制造得分率最低問題的“頑疾”.教學中，如果僅僅靠生搬硬套套題型或猜題、壓題的僥幸，不僅于學生的實際能力無補，而且可能會作繭自縛.在教學中如何有效培養(yǎng)和提高學生的應用意識和建模能力，怎樣把握對各個部分知識考查的要求、明確應用問題命題的形式及基本規(guī)律？本文擬在對部分高考數(shù)學試題中概率與統(tǒng)計部分應用題分析的基礎上，闡述自己的一些認識.以下是近3年的部分高考（理科）概率與統(tǒng)計部分應用問題的統(tǒng)計.

試題出處時間題量及分值題型知識背景

全國卷Ⅰ(理科)

20061題；分值：12解答題相互獨立事件同時發(fā)生的概率、離散型隨機變量分布列、期望

20071題；分值：12解答題離散型隨機變量分布列、期望

20081題；分值：12解答題離散型隨機變量分布列

全國卷Ⅱ(理科)

20062題；分值：4+12解答題統(tǒng)計抽樣（分層抽樣）；重復試驗發(fā)生次數(shù)的概率、離散隨機變量分布列、期望

20072題；分值：4+12填空+解答題正態(tài)分布；二項分布及隨機變量分布列

20082題；分值：5+12選擇+解答題古典概率；二項分布及互斥事件概率

廣東卷(理科)

20061題；分值：12解答題離散隨機變量分布列

20073題；

分值：5+5+12選擇+填空+解答題統(tǒng)計圖與算法；相互獨立事件同時發(fā)生概率、線性回歸分析（最小二乘法）

20082題；

分值：5+13選擇+解答題統(tǒng)計抽樣（分層抽樣）；離散型隨機變量分布列、期望及應用

福建卷

(理科)

20061題；分值：4選擇題古典概率

20071題；分值：4填空題離散型隨機變量期望

20081題；分值：12解答題相互獨立事件同時發(fā)生的概率、離散型隨機變量分布列、期望

從試題研究中不難發(fā)現(xiàn)，應用問題的命題至少有以下特點：1、題材的廣泛性，命題的知識范圍涉及排列組合、概率、統(tǒng)計、回歸分析等；2、考查的基礎性與靈活性，對知識的考查以基本知識點為基礎，而又不是生搬硬套所能奏效，往往需要學生對問題的本質(zhì)深入理解，解法上有很大的靈活性.3、體現(xiàn)了對應用意識和建模能力的要求，高考中的應用問題現(xiàn)實背景涉及社會生活的各個方面，特別是突出的社會熱點問題，如環(huán)保、決策、資源優(yōu)化、災害預測（評估）、就業(yè)、保險、疾病檢測等，既體現(xiàn)了學以致用的大眾數(shù)學教育理念，同時對學生的建模意識和建模能力提出了綜合性的測評，要求學生具備一定的建模經(jīng)驗和能力，此外，不少試題是源于課本習題或例題的改編或深化，這些特征，都對我們?nèi)绾螒獙Ω呖家陨羁痰膯⑹?

基于以上分析，本文認為，應用問題的教學不應是權宜之計，不是數(shù)學知識教學的點綴品，切實提高學生應用能力的關鍵是，日常教學中要注重知識的抽象性與背景回歸的良性結(jié)合，使學生真正實現(xiàn)在學中用、在應用中升華.同時要指出的是，準確把握高考大綱考試要求，應成為我們應考的著眼點，例如對正態(tài)分布，由于在正常條件下，電子產(chǎn)品壽命、零件尺寸、電容器容量、纖維的纖維度等都基本服從正態(tài)分布，具有廣泛的應用價值；相關分析在情況預報、資料補充方面有廣泛的應用，雖然尚未在高考中出現(xiàn)，但事實表明，那些被過去冷落的知識點，往往可能成為下一次高考命題的突破點.我們要在高考大綱的指導下，既有重點又不留死角，這樣才不至于功虧一簣.

2 試題評析

這部分是新課程改革后歷年考查的重點和熱點，其考查知識要點為：加法原理、乘法原理、古典概率計算、獨立事件同時發(fā)生概率、獨立重復試驗發(fā)生次數(shù)的概率、互斥事件至少有一發(fā)生的概率、離散隨機變量分布列及期望、統(tǒng)計抽樣、回歸分析、正態(tài)分布等，其特點是形式靈活，填空、選擇、大題均有出現(xiàn)，近幾年的試題中，以隨機變量的分布列為核心的綜合考查基本是必考大題，常包含互斥事件（至少有一發(fā)生）概率、獨立事件同時發(fā)生的概率.試題通常以考查基礎知識、綜合應用及建模能力為主，有著豐富的時代背景，充分體現(xiàn)了概率運用的廣泛性.

例1 （2006福建卷）在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于（ ）.

分析 該題為古典概率問題，基本公式為：P(A)=mn，其中n為一次實驗中可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，m為事件A的包含的所有結(jié)果.

從排列的角度求m、n，設A=“從袋中摸3個球，其中至少摸到2個黑球”，該事件可分為兩類：一、A1=“摸到2個黑球1個白球”，對應把8個小球排成一排，其中前3個球為2黑1白，共有3種形式：黑黑白、黑白黑、白黑黑，則有利與條件的事件總數(shù)為3×5種，而把3黑5白排成一排的種數(shù)為A88A33A55=56種，則摸到2個黑球的概率為1556；A2=“摸到3個都是黑球”，對應把8個球排成一列，前3個為黑球，則排列方式僅有1種，概率為156，所以至少取到2個黑球的概率為1556+156=27.（亦可從其互斥事件出發(fā)，考慮前3個球只摸到1個黑球與只摸到白球的情形，即得：1556+156=27.）

方法二、從組合的角度求m、n，可將每個小球編上1-8號，有利于事件發(fā)生總數(shù)為C23C15+C33,而抽取3個球的事件總數(shù)為C38,所以事件發(fā)生的概率為C23C15+C33C38=27，

方法三、從每個球被摸到的可能性考慮，該事件可分為A=“2黑1白”與B=“3黑”，

則

A=38×27×56+38×57×26+58×37×26 =1556,

B=38×27×16=156,

所以事件發(fā)生的概率為1556+156=27（當然亦可考慮其對立事件）.比較而言方法二更加簡潔，要讓學生注意總結(jié)，以取到高效的解題模式.

點評 本題的解法的多樣性正是高考試題的普遍特點，體現(xiàn)了對乘法原理、加法原理（分類思想）、及排列組合知識的考查，教學中需要注重學生對知識本質(zhì)的理解，啟發(fā)學生思維的多樣性，學會從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，并獲得最佳的解題途徑的能力.

例2 （2006全國理科Ⅰ）A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗，每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B，然后觀察療效.若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組.設每只小白鼠服用A有效的概率為23，服用B有效的概率為12.

（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；

（Ⅱ）觀察3個實驗組，用ξ表示這3個實驗組中甲類組的個數(shù)，求ξ的分布列.

分析 第Ⅰ個問題的數(shù)學模型，由題目對甲類組的定義設A=“一個實驗組中服用A有效的小白鼠只數(shù)比服用B有效的小白鼠只數(shù)多”,該事件為復合事件，可分解為兩種情形：A1=“實驗組中服用A藥的小白鼠1只有效另1只無效，而服用B藥的小白鼠都無效（有效為0只）”；A2=“實驗組中服用A藥有效的小白鼠為2只，而服用B藥有效的小白鼠為1只或2只都無效（有效為0只）”.顯然A1、A2為互斥事件，所求問題為

P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2),

P(A1)=2×23×13=49

P(A2)=23×23×12×12+23×23×12×12×2

=13(A2分為2個互斥事件)，

所以P(A)=P(A1)+P(A2)=49+13=79（當然亦可考慮A的對立事件A,通過P(A)=1-P(A)即可）；

問題Ⅱ，所求問題為獨立重復試驗事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，由Ⅰ容易得到ξ的分布列

ξ0123

P(ξ=i)87295624398243243729

Eξ=0×8729+1×56243+2×98243+243729×3=1485729.

點評 本題考查了在正確建模基礎上的互斥事件至少有一發(fā)生的概率、獨立重復試驗發(fā)生次數(shù)概率、隨機變量概率分布列及分類思想，解決問題的關鍵是理清題意進行數(shù)學抽象，建立相關模型，對所求的復合事件（由基本的可求概率的事件組成），分拆為幾組互斥事件（可求概率）的和，通過計算各組互斥事件的概率，從而解決前面的問題.

例3 （2008年全國卷理科Ⅱ）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保險費a元，若投保人在購買保險的一年內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金，假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且投保人是否出險相互獨立，已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.999104.

（Ⅰ）求一投保人在一年內(nèi)出險的概率p；

（Ⅱ）設保險公司開辦該項險種除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）.

分析 對保險知識的把握很重要，每一險種是保險公司在大量的調(diào)查中作出的對人在正常情況下的遇險可能性的統(tǒng)計分析，是一個總體的概念，即保險公司在對一個人的遇險可能性作出判斷時，用的是一個不變的概率，那么對本題來說，所有投保人遇險的概率是被認為相同的，這一點可以從（Ⅰ）所問作出判斷，據(jù)此，本題事件對每個人說是獨立的同分布的，一年內(nèi)遇險發(fā)生人數(shù)的概率即可看作模型為重復實驗發(fā)生次數(shù)的概率，保險公司一年內(nèi)賠付金額M的概率為P（ξ=M104）=CM104104PM104(1-p)104-M104（ξ為一年內(nèi)遇險人數(shù)），

本題“至少賠償10000元的事件”即“至少1人遇險事件”，直接考慮顯然不現(xiàn)實，考慮其對立事件即“沒有1人遇險的事件”，P（“至少1人遇險事件” ）=P(ξ≥1)

=1-P(ξ≤0)=1-C0104p0(1-p)104=1-0.999104，得p=0.001；

（Ⅱ）抽象模型，盈利η=所交保險金-成本-賠付金=10000a-50000-10000ξ ,所以

Eη=E(10000a-50000-E(10000ξ))

=10000a-50000-E(10000ξ)≥0,

10000a≥10000×10000×0.001+50000,得a≥15,

因此，每人至少交15元保費.

點評 本題不僅考查了概率部分（重復實驗發(fā)生次數(shù)概率、期望）的知識，而且把應用與不等式相聯(lián)系，綜合考查了學生建模的能力，需要學生對知識本質(zhì)準確把握，（Ⅱ）較好地體現(xiàn)了對知識的交叉綜合應用的考查，在今年的廣東卷（理科）17題、全國卷理科Ⅰ第20題都有體現(xiàn)，很大程度預示了今后對這類問題考查的方向，這要求教學中加強知識的橫向聯(lián)系，加大對應用問題數(shù)學原形廣度和深度的把握.

例4 （2007年全國理科卷Ⅱ）、在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ

在（0，1）取值的概率為0.4，則ξ在（0，2）內(nèi)的取值概率為（）.

分析 對正態(tài)分布N(a,σ2)，其圖象關于x=a對稱，因此N(1,σ2)關于x=1對稱，顯然，ξ在（0，2）內(nèi)的概率分布圖象關于x=1對稱，P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.

點評 本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，需要學生掌握正態(tài)分布的對稱性，正態(tài)分布在高考試題中出現(xiàn)次數(shù)極少且分值不大，容易被復習中忽視，鑒于其應用價值，不排除今后對這類問題考查分量加大的可能，正態(tài)分布的考查，使我們認識到，既要關注熱點問題，也要對大綱要求有明確的認識，不能留有死角，如2007年廣東理科17題考查了回歸分析，統(tǒng)計抽樣（分層抽樣）出現(xiàn)在2006年全國卷理科Ⅱ第16題（填空）、2008年廣東卷理科第3題（填空），在形式上也可能作為綜合題出現(xiàn)在解答題中.

例5 （2008年全國卷Ⅰ理科）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物，血液化驗的結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病，下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗，若結(jié)果呈陽性則表明患病的動物為這3只中的1只，然后逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.

（Ⅰ）求方案甲所需化驗次數(shù)不少于方案乙所需化驗次數(shù)的概率；

（Ⅱ）ξ表示方案乙所需化驗次數(shù)，求ξ的期望.

分析 （Ⅰ）方案甲、乙的次數(shù)均未確定，由甲方案知，可能的次數(shù)為1、2、3、4次；乙方案比較復雜，首先需要將3只的一組混合血液化驗1次，不可能確定（只能確定患病動物在哪組），若檢驗呈陽性，則患病動物在3個的組中，可能的化驗次數(shù)總共為2、3次；檢驗呈陰性，則患病動物在2只的一組，總共只需2次，因此乙組的化驗次數(shù)可能為2、3次.且以上各檢驗次數(shù)的概率為古典概率，現(xiàn)在可以建立事件模型，設Ai=“甲實驗需要i次確定患病動物”（i=1、2、3、4），Bk=“乙方案需要k次確定患病動物”（k=2、3），顯然，所求事件為：

(A2∩B2)∪(A3∩B2)∪(A4∩B2)∪(A3∩B3)∪(A4∩B3) ，其中Ai,Bi為相互獨立事件，(A2∩B2)、(A3∩B2)、(A4∩B2)、(A3∩B3)、(A4∩B3)為互斥事件，則依次解：

P（(A2∩B2)∪(A3∩B2)∪(A4∩B2)∪(A3∩B3)∪(A4∩B3)）=P(A2∩B2)+P(A3∩B2)+P(A4∩B2)+P(A3∩B3)+P(A4∩B3)

=P（A2）P（B2）+P（A3）×P(B2)+P(A4)P(B2)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B3)

=15×35+15×35+25×35+15×25 +25×25=1825

（顯然，乙方案所需次數(shù)總體上少于甲方案），對于Ⅱ其實只需簡單計算即可（略）.

點評 該題對模型的建立要求較高，題中沒有具體數(shù)字，所需條件均需通過對題目的理解獲得，如檢驗中各次檢驗到患病動物的概率，要求學生根據(jù)平時的知識、經(jīng)驗分析得出判斷，需要較高的抽象水平，其次體現(xiàn)了分類思想的應用（加法原理），該方法在解決互斥事件至少有一發(fā)生的概率計算方面，是一種極為有效的手段.

3 小結(jié)

首先，把握高考對知識的目標要求是備考的前提，在準確掌握高考大綱的考試要求后，復習才能在有限的時間內(nèi)做到有的放矢，重點突出 .

其次，從考試趨勢上看，概率（分布）已作為一項必不可少的考查內(nèi)容（解答題），伴隨的知識點是互斥事件至少有一發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率等，保持了與往屆試題的連續(xù)性、穩(wěn)定性的特點，并且試題越來越注重對學生的建模能力及知識綜合運用的考查力度，知識交叉考查的趨勢凸顯（函數(shù)、不等式等），要求學生有一定的建模經(jīng)驗與相應的知識綜合運用能力，而其中的應用問題建模能力可能是常規(guī)教學中最為薄弱的環(huán)節(jié)，本文認為，加強建模能力水平的過程離不開基本應用問題題型的講解與演練，從基本知識和概念出發(fā)，想方設法創(chuàng)設多角度、多層次的問題情境，讓學生通過自身練習，反復體驗建模的基本步驟和方法，才能形成應用問題解決的基本思維結(jié)構(gòu)，并逐步形成自己的能力.事實證明，僅靠單純的知識講解與演練，而忽視可能的現(xiàn)實問題情境的處理能力的培養(yǎng)，學生即使解決數(shù)學本身問題的能力很強，在解決應用問題方面也會捉襟見肘.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文