學(xué)好平行知識(shí)　夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

郭德乾

古人云：欲修萬(wàn)丈高樓，必先堅(jiān)筑地基.平行線的知識(shí)是幾何大廈的基石，在幾何王國(guó)里到處可以見(jiàn)到它們的身影.同學(xué)們要深刻理解平行線定義、識(shí)別與特征，并能靈活運(yùn)用它們解決有關(guān)的計(jì)算和推理問(wèn)題.

1. 在生活中，兩條筆直的鐵軌之間是什么關(guān)系呢？在我們的作業(yè)本上，兩個(gè)格線之間又是什么關(guān)系呢？

綜合上面的關(guān)系，兩條鐵軌可以看成是兩條直線，它們之間不能相交；作業(yè)本上的線也是不能相交的線.那么這些線與線的關(guān)系，我們稱為平行關(guān)系.

總結(jié)：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

注：（1）“在同一個(gè)平面內(nèi)”是定義的前提條件，在空間圖形中，不相交的兩條直線并不一定平行的.

（2）在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交與平行兩種.

我們用符號(hào)“∥”表示平行，如果AB平行于CD，記作AB∥CD；也有可能是a平行于b，則記作a∥b.

2. 根據(jù)圖1我們一起來(lái)探索一下下列問(wèn)題.

（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，能畫出幾條直線與已知直線AB平行？

（2）過(guò)點(diǎn)D畫一條直線與直線AB平行，它與（1）中所畫的直線平行嗎？

（3）通過(guò)畫圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

分析：同學(xué)們想一想，過(guò)直線外一點(diǎn)能作出幾條線與已知直線平行呢？是一條、兩條，還是更多呢？我們從定義出發(fā)，可以看出過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，過(guò)圖中的點(diǎn)D再作一條直線，與過(guò)C點(diǎn)的直線什么關(guān)系呢？

從圖1可以看出，這三條直線是平行關(guān)系，所以得出以下的結(jié)論：

（1）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；

（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

探究性問(wèn)題是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由淺入深，由特殊到一般探究規(guī)律，再利用所得的規(guī)律解決問(wèn)題.

（1）探究規(guī)律：如圖2，已知直線a∥b，A、B為直線a上兩點(diǎn)，C、P為直線b上兩點(diǎn).

①請(qǐng)你寫出圖2中面積相等的各對(duì)三角形：____；

②如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在b上移動(dòng)，那么無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，總有____與△ABC的面積相等，理由是____.

（2）解決問(wèn)題：如圖3，五邊形ABCDE是張大爺10年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒地，現(xiàn)在已變成圖4所示的形狀，但承包土地與開(kāi)墾的分界小路（即圖2中的折線CDE）還保留著，張大爺現(xiàn)在想過(guò)點(diǎn)E修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地的面積與開(kāi)墾的荒地的面積一樣多.請(qǐng)你用所學(xué)過(guò)的幾何知識(shí)，按張大爺?shù)囊?，幫張大爺設(shè)計(jì)出一種修路方案.（不計(jì)分界小路與直路的占地面積）

①寫出設(shè)計(jì)方案，并在圖4中畫出相應(yīng)的圖形；

②說(shuō)明方案設(shè)計(jì)的理由.

分析：在圖2中，因?yàn)閍//b，所以a與b兩平行線間的距離相等，又因?yàn)椤鰽BC與△ABP有一共同的底邊AB，所以△ABC與△ABP為同底等高的兩個(gè)三角形，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，可知△ABC與△ABP的面積相等；（2）中的問(wèn)題可設(shè)法構(gòu)造出（1）中的基本圖形來(lái)處理.

解：（1）①面積相等的三角形有3對(duì)，分別為：△ABC與△ABP，△ACP與△BPC，△AOC與△BOP.

②無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到什么位置，總有△ABP與△ABC面積相等，理由是：平行線間的距離相等，無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在直線b上如何移動(dòng)，總有△ABP與△ABC同底等高，因此它們的面積相等.

（2）①設(shè)計(jì)方案如圖5，連接EC,過(guò)D作DF//EC，交CN于F，連接EF，EF即為所修直路的位置；

②設(shè)EF交CD于點(diǎn)H，由上面得到的結(jié)論可知，△ECF的面積與△ECD的面積相等，△HCF與△EDH的面積相等，所以五邊形ABCDE的面積與五邊形ABCFE的面積相等，當(dāng)然五邊形EDCNM與四邊形EFMN的面積也相等.

例1判別下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

（1）不相交的兩條直線叫做平行線.

（2）在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線.

（3）過(guò)一點(diǎn)可以而且只可以畫一條直線與已知直線平行.

思路點(diǎn)撥：平行線是指在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線.在同一平面內(nèi)與不相交兩者缺一不可.

解：（1）不正確.根據(jù)平行線的定義，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”，“在同一平面內(nèi)”是平行線的一個(gè)重要條件，是不可缺少的.

（2）不正確.平行線的定義中指的是兩條不相交的“直線”，而不能改為“線段”.我們所說(shuō)的線段平行，實(shí)際上是指它們所在的直線平行.

（3）不正確.正確的說(shuō)法是“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”，而不是“過(guò)一點(diǎn)”.因?yàn)槿绻@一點(diǎn)就在直線上，是作不出這條直線的平行線的.

在利用定義及性質(zhì)時(shí)，要注意其成立的前提條件.

例2如圖6，AB∥DC，E是線段BC上一點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)E畫EF∥AB，交AD于F.

（2）EF與CD平行嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：可以利用平移三角尺畫平行線，畫平行線時(shí)要“兩貼一移一畫”.

解：（1）如圖6.（通過(guò)平移三角尺的方法畫EF∥AB）

（2）因?yàn)锳B∥DC，F(xiàn)E∥AB，根據(jù)“兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行”，可得EF∥CD.

若a=b，b=c，則a=c，理由是等量代換；若a∥b，b∥c，則a∥c，理由是“如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行”.

例3如圖7，已知a∥b，第三條直線c與a相交.試說(shuō)明c與b也相交的理由.

思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明c與b相交，所能用的依據(jù)，一是平行線的定義，二是經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

解：如圖7，設(shè)a與c相交于A，則a是過(guò)直線b外一點(diǎn)A與b平行的直線，由于經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，所以過(guò)點(diǎn)A與b平行的直線是唯一的.故過(guò)點(diǎn)A的另一條直線c不能再與b平行，所以c與b相交.

利用經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行的“唯一性”可說(shuō)明：過(guò)直線外一點(diǎn)的n條直線中至少有（n-1）條與這條直線相交.

1. 判斷正錯(cuò)（正打“√”，錯(cuò)打“×” ）.

①兩條不相交的直線叫平行線.（ ）

②在同一平面內(nèi)的兩條直線不平行就相交.（ ）

③一條直線的平行線有且只有一條.（ ）

④經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.（ ）

⑤a、b、c是三條直線，如果a∥b且b∥c，則a∥c.（ ）

2. 填空.

①在同一平面內(nèi)，直線a與b滿足下列條件：a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系____；a與b有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系____.

②若AB∥CD且AB∥EF，則____∥____，

理由是_______________________.

③如圖8，在正方體中，與棱AA1平行的棱條數(shù)為（ ）.

A.1 B.2C.3D.4

3. 根據(jù)題意畫圖并探索（如圖9）.

①過(guò)點(diǎn)A作直線EF，使EF∥CD；

②用量角器測(cè)量∠1的度數(shù)；

③測(cè)量以A為頂點(diǎn)的角的度數(shù).

④你發(fā)現(xiàn)∠1與其他角有什么關(guān)系嗎？

4. 某學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)始之前體育老師事先畫好50 m的跑道，如果是4道，需要畫 條平行線；如果畫6條平行線，則有 條跑道.

5. 在圖10所示的方格紙中，用三角尺分別畫出與MN和PQ平行的線段.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文