四邊形問題的解答策略

孫琪斌

策略1對角線優(yōu)先

例1 （上海市）如圖1，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．

（1） 求證：四邊形ABCD是菱形.

（2） 若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．

（說明：本文所有例題皆選自2008年中考題）

分析： 證四邊形ABCD是菱形的方法有多種：證明四邊形ABCD的四條邊相等；證明平行四邊形ABCD有一組鄰邊相等（如，通過△EAD≌△ECD證AD=CD）；證明平行四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直.

若從AC既是平行四邊形ABCD的對角線，又是等邊△ACE的一條邊的角度展開思考，可優(yōu)先考慮對角線，利用等腰三角形的三線合一，證AC⊥BD.事實上，有相當一部分題目，在從邊、角、對角線三個方向上構思解題策略時，可優(yōu)先考慮對角線.

證明：（1） 由四邊形ABCD是平行四邊形，得OA=OC.

由△EAC是等邊三角形，且OA=OC，得EO⊥AC.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形.

（2） 由△EAC是等邊三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.

由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.

因為∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.

因為OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.

注：也可以這樣證明：因平行四邊形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四邊形ABCD是正方形.

策略2若直覺無效，則不妨從最原始的地方思考

例2 （重慶市）如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點E.

求證：（1） △BFC≌△DFC；（2） AD=DE.

分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得△BFC≌△DFC.

（2） 證明AD=DE，估計同學們憑借直覺在較短時間內(nèi)無法找到證明方法.這時不妨從最原始的地方展開思考：利用全等三角形證明AD=DE.連接BD，得△ADB、△EDB.不難發(fā)現(xiàn)，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲證明△ADB≌△EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考慮待證線段AD=DE）.從運用DF∥AB的角度思考，可考慮證∠ABD=∠EBD.

由△BFC≌△DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.

又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.

∴∠ABD=∠EBD.

證明：略.

注：本題也可以延長DF交BC于點H，利用△BHF≌△DEF證BH=DE，利用平行四邊形ABHD的對邊相等，得AD=BH，從而完成證明.

策略3構造基本圖形

例3 （山東?。┰谔菪蜛BCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點.求證：CE⊥BE.

分析： 延長CE交BA的延長線于點F（如圖３）.

由△DCE≌△AFE，得CE=FE，CD=FA.

因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.

△BCF是等腰三角形三線合一的基本圖形.

證明：略.

注：本題也可通過具體計算的方法，借助勾股定理的逆定理證明兩條直線互相垂直.

策略4計算證明法

例3再證：如圖4，過點C作CF⊥AB，垂足為F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.

在Rt△BCF中，AD=CF= =2 .

在Rt△CDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.

在Rt△BAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.

∴CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.

∴∠CEB=90°.

注：本題還可通過過E作中位線進行計算證明.

策略5化歸策略

例4 （莆田市）如圖5，已知矩形ABCD，點P是BC邊上的一個動點.

（1） 求證：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（2） 請你探究：當點P在矩形ABCD的內(nèi)部（如圖6）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.

（3） 當點P在矩形ABCD的外部（如圖7）時，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，請給出簡單的證明過程；若不成立，請簡述理由.

分析： （1） 因線段PA，PB位于Rt△PAB中，PC，PD位于Rt△PCD中，所以從運用勾股定理的角度可以將待證結(jié)論PA2+PC 2=PB 2+PD 2化為PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

在Rt△ABP中，PA2-PB 2=AB 2；在Rt△CDP中，PD 2-PC 2=CD 2.

由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

（2） 如圖6，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，則問題（2）即可以化歸成問題（1）.

運用（1）中的結(jié)論，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .兩式相減，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（3） 仿第（2）題，在圖7中，過點P作EF∥BC，分別交BA，CD的延長線于E，F(xiàn)，即可將問題化歸為問題（1），仿第（2）題的方法可獲解.

證明：略.

策略6整體考察法

例5 （廣州市）如圖8，每個小正方形的邊長為1，把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部分拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是（）.

A. B. 2 C. D.

分析： 若從把陰影圖形拼接成正方形的角度思考，本題有一定的難度.若不考慮具體拼接方法，而直接從拼接前后面積不變的角度，立足整體考察問題，則新正方形的邊長易求.容易發(fā)現(xiàn)：陰影面積為5個平方單位，因此新正方形的邊長應該為 .

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文