圖形變換與圖案設(shè)計

房瑋嘉

平移與旋轉(zhuǎn)是圖形的基本變換.利用平移?旋轉(zhuǎn)?軸對稱的組合進(jìn)行圖案設(shè)計,是中考的重點考查內(nèi)容之一.

例1 在圖1的方格紙中,每個小方格都是邊長為1個單位的正方形.△ABC的三個頂點都在格點上(每個小方格的頂點叫格點).

(1)試畫出△ABC向下平移4個單位后的圖形△A1B1C1;

(2)試畫出△ABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C2.

分析:圖形的平移作圖,應(yīng)注意平移方向及平移距離;圖形的旋轉(zhuǎn)作圖,應(yīng)注意旋轉(zhuǎn)方向?旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)中心,同時還有關(guān)鍵點的確定.

解:(1)△ABC向下平移4個單位,則頂點A?B?C分別向下平移4個單位,得到點A1?B1?C1.依次連接點A1?B1?C1,即得平移后的圖形△A1B1C1.如圖2.

(2)在網(wǎng)格圖中作旋轉(zhuǎn)圖形,要充分利用網(wǎng)格確定旋轉(zhuǎn)角的大小.連接OA,將線段OA繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,即可得到點A2.同樣地可得到點B2?C2.依次連接點A2?B2?C2,即得旋轉(zhuǎn)后的圖形△A2B2C2,如圖2.

例2 圖3中的四邊形是某設(shè)計師在方格紙中所設(shè)計的某圖案的一部分.請你幫他完成余下的工作.

(1)作出該四邊形關(guān)于直線AB的軸對稱圖形;

(2)將你畫出的部分連同原圖形繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°;

(3)發(fā)揮你的想象,把得到的圖案適當(dāng)涂上陰影,讓圖案變得更加美麗.

分析:題(1)屬于軸對稱方面的作圖題,解這類問題的關(guān)鍵是作出已知圖形上特征點的對稱點.作對稱點的主要依據(jù)是軸對稱的性質(zhì):對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分.題(2)是在方格紙上將圖形旋轉(zhuǎn)90°,實際上就是找出某些直線的垂線.可先選幾個關(guān)鍵點,找出這幾個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心連線的垂線,再由線段相等找出這些關(guān)鍵點的對應(yīng)點.

解:如圖4所示.

例3 圖5中的圖形是某設(shè)計師所設(shè)計圖案的一部分.請你運用旋轉(zhuǎn)變換的方法,在方格紙中將圖案繞點O順時針方向依次旋轉(zhuǎn)45°?90°?135°?180°?225°?270°?315°.畫出旋轉(zhuǎn)后的圖案,并適當(dāng)涂上陰影,你會得到一個美麗的圖案.涂陰影時不要涂錯位置,否則就不會出現(xiàn)理想的效果.你來試一試吧!

分析:運用“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都相等”等特征,很容易得到答案.

解:運用旋轉(zhuǎn)變換的方法,按照要求進(jìn)行作圖.變換后的圖案如圖6所示.

例4 某公司為了節(jié)約開支,購買了質(zhì)量相同的兩種顏色的殘缺地磚,準(zhǔn)備用來裝飾地面.現(xiàn)在已經(jīng)把它們加工成如圖7所示的等腰直角三角形地磚.李聰同學(xué)設(shè)計出A?B?C?D四種圖案.

(1)請問:你喜歡其中的哪個圖案?描述該圖案的形成過程.

(2)請你利用平移?旋轉(zhuǎn)?軸對稱等知識再設(shè)計一個與上述圖案不同的圖案.

分析:可選其中一個圖案來簡述.同一圖案形成的過程也不唯一,只要敘述合理即可.例如,圖案A的形成過程為:①以兩種顏色的地磚組成小正方形作為“基本圖案”,再經(jīng)過平移得到;②以同一列的四塊地磚組成的長方形作為“基本圖案”,再經(jīng)過平移得到.

解:(1)我喜歡圖案D.其形成過程為:以同行或同列的兩個小正方形組成的長方形為“基本圖案”,再繞這個長方形某條較長的邊的中點旋轉(zhuǎn)180°得到.

(2)如圖8所示.

例5 請你設(shè)計一個圖案,使其繞圖形上一點旋轉(zhuǎn)60°后能與自身重合.

分析:因為360°÷60°=6,所以設(shè)計時“基本圖案”的個數(shù)應(yīng)為6.

解:設(shè)計的圖案如圖9所示.