從　與π的不同說起

趙利敏

在學(xué)習(xí)了無理數(shù)之后,大家都對無理數(shù)有了初步的認識,了解到,,仔等是與我們以前接觸到的有理數(shù)完全不同的一類數(shù).這些無理數(shù)在實數(shù)中占有很大的“比例”,相對而言,我們以前學(xué)過的有理數(shù)其實只是實數(shù)中很小的一部分.在初次認識無理數(shù)時,大家通常都會比較容易接受那些帶根號的無理數(shù),而對仔這樣的無理數(shù)總有一些怪異的感覺.那么,無理數(shù)之間究竟都有什么區(qū)別呢?和又有什么不同呢?數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究,根據(jù)實數(shù)等的一些數(shù)學(xué)特征,作出了如下的定義.

如果一個數(shù)是某個系數(shù)不全為零的整系數(shù)多項式方程(即形如anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0=0的方程,其中系數(shù)an,an-1,an-2,…,a1,a0均為整數(shù))的根,則稱此數(shù)為代數(shù)數(shù).不是代數(shù)數(shù)的數(shù),叫做超越數(shù).

比如,有理數(shù)都是代數(shù)數(shù),而那些開方開不盡所產(chǎn)生的帶根號的無理數(shù),通常也都是代數(shù)數(shù)(例如,是方程x2-2=0的一個根).

法國19世紀數(shù)學(xué)家劉維爾開創(chuàng)了對超越數(shù)的研究的先河,他于1844年構(gòu)造出歷史上第一批超越數(shù).可以看出,超越數(shù)的研究距今才僅僅100多年!在這之前,對無理數(shù)的研究已成為數(shù)學(xué)界的一個熱點.1744年,數(shù)學(xué)大師歐拉證明了自然對數(shù)的底e是無理數(shù)(e≈2.718 281 828 4).1761年,德國數(shù)學(xué)家朗伯證明了圓周率π是無理數(shù).

1882年,德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了π 是超越數(shù),并且據(jù)此完全否定了“化圓為方”作圖的可能性.還有,前面所說的自然對數(shù)的底e也是超越數(shù).另外,像0.101 001 000 100 001…這類的無理數(shù),一般也都是超越數(shù).

迄今為止,人們發(fā)現(xiàn)和研究的超越數(shù)少之又少,因為要證明一個數(shù)是超越數(shù)極其困難.然而,這并不表明超越數(shù)的“數(shù)目”不多.19世紀末,數(shù)學(xué)上最令人震驚,同時也是最引起爭論的成就,是德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)設(shè)的集合論.這是人類首次“冒犯”無窮大這些數(shù),并企圖揭開它們的面紗.康托爾的理論之一,是利用一一對應(yīng)的方法比較含有無窮多個元素集合之間元素個數(shù)的大小,像比較實數(shù)與有理數(shù)的“個數(shù)”的大小.康托爾的集合論中,證明了一件相當重大的結(jié)果,那就是,實數(shù)的“個數(shù)”遠遠多于有理數(shù)的“個數(shù)”.由于實數(shù)是由無理數(shù)和有理數(shù)組成的,所以無理數(shù)的“個數(shù)”遠遠多于有理數(shù)的“個數(shù)”.超越數(shù)雖然都是無理數(shù),然而超越數(shù)的“個數(shù)”遠遠超過代數(shù)數(shù)(里面也包括一些無理數(shù))的“個數(shù)”!用一句不太數(shù)學(xué)的語言來說,那就是實數(shù)中幾乎所有的數(shù)都是超越數(shù)!

要判斷一個無理數(shù)是不是超越數(shù)是非常困難的,甚至是不可能的.至今仍有一些數(shù)我們無法將它們歸類(代數(shù)數(shù)?無理數(shù)?超越數(shù)等).舉兩個例子,就是π+e以及π×e.人們已經(jīng)證明π和e都是超越數(shù),而且還可以證明它們的和和積中至少有一個是超越數(shù),但到目前為止,還沒有人可以嚴格地證明到底哪一個是超越數(shù).

1900年在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家代表大會上,德國數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)表了《數(shù)學(xué)問題》的著名演講.在演講中他提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題.這23個問題現(xiàn)在被稱為“希爾伯特問題”,它們對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響.

希爾伯特的23個問題中的第7個問題是:如果α是不等于0和1的代數(shù)數(shù),β是無理代數(shù)數(shù),那么α β(例如,2)是超越數(shù)嗎?或至少是無理數(shù)嗎?

希爾伯特曾預(yù)言,這個問題的解決將遲于23個問題中許多困難的問題.然而,前蘇聯(lián)的蓋爾封特于 1929年?德國的施奈德于1935年分別獨立地證明了其正確性,現(xiàn)在人們稱其為蓋爾封特-施奈德定理.即2,3這類數(shù)都是超越數(shù). 1966年后,這一結(jié)果又被英國數(shù)學(xué)家貝克等人大大地推廣和發(fā)展了(比如, eπ是一個超越數(shù)).

但是,關(guān)于超越數(shù)的理論還遠未完成.目前,確定所給的數(shù)是否為超越數(shù),尚無統(tǒng)一的方法,也是很困難的.

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