正方形的開方問題

馮金枝

我們以前學(xué)習(xí)過正方形面積公式，知道如何去求一個正方形的面積，但反過來，如果給出一個正方形的面積，我們就不知道該怎么去求它的邊長了.現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平方根的知識后，我們就可以解決這個問題了.

例1小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3 ∶ 2.不知能否裁出來，正在發(fā)愁.小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？

解： （假設(shè)能裁出符合要求的長方形紙片）設(shè)長方形紙片的長為3xcm ，寬為2xcm.根據(jù)邊長與面積的關(guān)系得

3x?2x=300，

6x2=300，

x2=50，

x= .

因此長方形紙片的長為3 cm.

因為50>49，所以 >7.

由上可知3 >21，即長方形紙片的長應(yīng)大于21 cm.

已知正方形紙片的邊長只有20cm，這樣，要裁出的長方形紙片的長將大于正方形紙片的邊長，這是不可能的.

故不能裁出符合要求的長方形紙片.

答：不同意小明的說法.小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片.

評析：這道例題是平方根知識在實際問題中的應(yīng)用，同學(xué)們一般會認(rèn)為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片，解完了這道題后同學(xué)們該明白平方根知識的用處了吧！解題過程中給出了一種常見的用有理數(shù)估計無理數(shù)的方法，這種方法是利用與被開方數(shù)最接近的完全平方數(shù)的算術(shù)平方根來估計這個被開方數(shù)的算術(shù)平方根的大小，這種估算能力是同學(xué)們以后學(xué)習(xí)過程中必須具備的能力.

例2小明的房間面積為10.8m2，房間地面恰由120塊相同的正方形地磚鋪成，每塊地磚的邊長是多少？

解： 房間的面積為10.8m2，也就是120塊相同正方形地磚的面積之和為10.8m2，那么1塊正方形地磚的面積為：

10.8÷120=0.09（m2）.

故每塊正方形地磚的邊長為：

=0.3（m）.

答：每塊正方形地磚的邊長為0.3m.

例3（1） 用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長方形紙片，你會怎樣剪？

（2） 根據(jù)你的剪法回答:只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎？

解： （1）設(shè)正方形紙片的邊長為a cm，則

a2 = 400，

a = ±

=± 20.

由于負(fù)值不合題意，應(yīng)舍去，故正方形紙片的邊長為20 cm.

要剪出面積為300 cm2的長方形紙片，可以以正方形紙片的邊長20 cm為長，剪去一定寬度的長方形紙片而得.

設(shè)剪去的長方形紙片的寬為 xcm，則

20?（20-x）=300，

400-20x=300，

20x=100，

x=5.

所以只要剪掉長為20 cm，寬為5cm的長方形紙片，剩下的就是長為20 cm，寬為15 cm的長方形紙片，它的面積為300 cm2，這樣就可得到符合要求的長方形紙片了.

（2）由前面例1和本題（1）可知：在有要求的前提下，利用面積大的紙片不一定能剪出面積小的紙片.L