角平分線性質(zhì)的應(yīng)用

許生有

我們知道，關(guān)于角平分線有如下性質(zhì)：

（1）角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.

（2）在一個(gè)角的內(nèi)部且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.

靈活運(yùn)用上面這兩個(gè)性質(zhì)，可以簡(jiǎn)便地解決許多問(wèn)題.

一、性質(zhì)(1)單獨(dú)亮相

例1如圖1，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∠1=∠2，CD、BE交于O點(diǎn).求證：OB=OC.

分析：由∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，可知OE=OD，然后再證△BDO≌△CEO.

證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1=∠2，

∴OE=OD.

又∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，

∴△BDO≌△CEO（ASA），OB=OC.

點(diǎn)評(píng)：角平分線的性質(zhì)常用來(lái)證明線段相等的相關(guān)問(wèn)題.本題中由角平分線的性質(zhì)直接得到OE=OD，顯然比證明△OAE≌△OAD來(lái)說(shuō)明OE=OD要簡(jiǎn)便.

例2 如圖2，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE.求證：∠PDO+∠PEO=180°.

分析：∠PDO、∠PEO在圖形的不同位置，又無(wú)平行線使它們聯(lián)系起來(lái)，要證∠PDO+∠PEO=180°，若設(shè)法把其中的一個(gè)角轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，問(wèn)題便可以解決.由于OC是角平分線，故可過(guò)點(diǎn)P作兩邊的垂線，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，再利用HL證明這兩個(gè)直角三角形全等即可.證明略.

點(diǎn)評(píng)：遇到角平分線問(wèn)題，可以過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向這個(gè)角的兩邊引垂線，以便充分運(yùn)用角平分線的性質(zhì).

二、性質(zhì)（2）單獨(dú)亮相

例3如圖3，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，交點(diǎn)分別為A、B、C.現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有幾處？請(qǐng)標(biāo)在圖中，并說(shuō)明理由.

分析：因?yàn)榈浇堑膬蛇吘嚯x相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，所以可供選擇的地址在這三條直線所圍成的△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處，或在這個(gè)三角形的外角平分線的交點(diǎn)處.

解：如圖4，作∠BAC、∠ABC的平分線，交于點(diǎn)P4，則點(diǎn)P4到直線l1、l2、l3的距離相等，理由是角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.同理，作△ABC的外角平分線，分別交于點(diǎn)P1、P2、P3，則點(diǎn)P1、P2、P3各點(diǎn)到直線l1、l2、l3的距離也相等.

所以，可供選擇的地址有P1、P2、P3、P4共四處.

點(diǎn)評(píng)：性質(zhì)（2）常用來(lái)解決或證明距離相等的相關(guān)問(wèn)題.由本題可以得到“三角形的一內(nèi)角平分線與另外兩個(gè)不相鄰?fù)饨堑钠椒志€交于一點(diǎn)”，比如P1，它到AC和BC所在直線的距離相等，故它在∠ACB的平分線上.有時(shí)利用它解題更簡(jiǎn)潔.并且還可證得點(diǎn)P4在∠ACB的平分線上（因P4到AC、BC的距離相等），即“三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)”.

三、性質(zhì)（1），性質(zhì)（2）財(cái)時(shí)亮相

例4如圖5，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P.求證：BP平分∠MBN.

分析：如圖6，作PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.要證BP平分∠MBN，只需證PD=PF.而PA、PC為外角平分線，故可過(guò)P作PE⊥AC于E.根據(jù)角平分線性質(zhì)有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問(wèn)題得證.證明略.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)作PE⊥AC于E，溝通了性質(zhì)（1）及性質(zhì)（2）.當(dāng)題目中有角平分線的交點(diǎn)時(shí)，常過(guò)交點(diǎn)作有關(guān)邊的垂線，以尋找解題思路.

例5如圖7，△ABC中，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：∠DCE=∠CAD.

解：由BD、CD平分∠ABC、∠ACB，可得AD平分∠BAC.于是可設(shè)∠1=∠2=x，∠3=∠4=y，∠5=∠6=z.由三角形內(nèi)角和定理得x+y+z=90°，于是∠CAD=z=90°-（x+y），只需證出∠DCE=90°-（x+y）即可.

∵CE⊥BD，

∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-（∠2+∠3）=90°-（x+y）.

∴∠DCE=∠CAD.

點(diǎn)評(píng)：這種設(shè)角并利用角的表達(dá)式證明的思路，體現(xiàn)了代數(shù)法解幾何題的思想，值得重視.

跟蹤練習(xí)

如圖8，在△ABC中，AD是∠A的平分線， DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：AD⊥EF.

提示：先證△AED≌△AFD，得AE=AF.再證△AEO≌△AFO，則∠AOE=∠AOF=90°.