全等三角形有幾對呢

邱邦有

根據(jù)已知條件，結合圖形，找出圖中的全等三角形，是中考中的常見題型．解決此類問題的關鍵，是確定出圖形中形狀相同、大小相近的三角形，并找出使它們全等的已知條件或隱含條件．

例1如圖1所示，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC.

（1）圖中有多少對全等三角形？請你一一列舉出來（不要求說明理由）.

（2）任選（1）中的一對全等三角形加以證明．

分析：要找出圖中的全等三角形，既要根據(jù)已知條件，還要結合圖中的隱含條件（如公共邊、對頂角等）進行判斷.然后，再依據(jù)三角形全等的判定方法進行探究．

解：（1）圖中有4對全等三角形，分別是：△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOB≌△AOC，△ABD≌△ACE.

（2）證明△AOE≌△AOD.

∵CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，∴∠AEO=∠ADO.

∵AO平分∠BAC，∴∠OAE=∠OAD.

∵AO=AO，∴△AOE≌△AOD（AAS）.

點評：要找圖中所有的全等三角形，可以先找出圖中的所有三角形，不論是基本的，還是由其他三角形組合成的（像△AOB、△ABD），然后再比較．

例2如圖2，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別是AB、AC的中點，點F是BE、CD的交點．請寫出圖中所有的全等三角形，并選出其中一對加以證明．

分析：根據(jù)AB=AC，點D、E分別是AB、AC的中點，可得AD=AE，BD=CE.根據(jù)AB=AC，得∠ABC=∠ACB.結合三角形全等的判定方法可知，圖形中共有3對全等三角形．

解：△ABE≌△ACD，△BCD≌△CBE，△BFD≌△CFE．

選擇△ABE≌△ACD進行證明．

∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴AD=1/2AB，AE=1/2AC．

又∵AB=AC，∴AD=AE．

∵∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.

點評：解答此類題應準確發(fā)現(xiàn)所有的全等三角形，一定要做到不重不漏，而證明則一般較為容易.

例3如圖3，△ABC中，AB=AC，過點A作GE∥BC.三角形角平分線BD、CF相交于點H.它們的延長線分別交GE于點E、G．試在圖中找出所有的全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．

分析：因為AB=AC，可知∠ABC=∠ACB．結合GE∥BC，以及角的平分線的有關知識，可以發(fā)現(xiàn)圖中共有5對全等三角形．

解：△ABD≌△ACF，△BFH≌△CDH，△BCF≌△CBD，△AGC≌△AEB，△AGF≌△AED．現(xiàn)證明△AGC≌△AEB．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

又BD、CF是∠ABC、∠ACB的平分線，

∴∠ABE=∠ACG，∠EBC=∠GCB．

又GE∥BC，故∠G=∠GCB，∠E=∠EBC．

∴∠G=∠E． △AGC≌△AEB（AAS）．

點評：圖形中包含的全等三角形比較多.解決問題的關鍵是從復雜的圖形中分解出一對對全等的三角形，然后探究其全等的條件．全等三角形組合在一起，也可構成全等三角形，如△AGF≌△AED，△ACF≌△ABD，則△AGC≌△AEB.全等三角形也有“傳遞性”.若A≌B，B≌C，則A≌C.如果例3中CF、BD均為中線，則易知△AGF≌△BCF（ASA）.而△BCF≌△CBD，可知△CBD≌△AGF.