點擊“軸對稱”

盧定波

一、基礎知識精要

1. 軸對稱、對稱軸、對稱點

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱.這條直線叫做對稱軸.兩個圖形中的對 應點叫做對稱點.

如圖1，如果△ABC沿直線PQ折疊后，與△A′B′C′重合，則稱△ABC與△A′B′C′關于直線PQ對稱，直線PQ是對稱軸，點A與A′、B與B′、C與C′是關于直線PQ的對稱點.

提醒：（1）軸對稱包含兩層意思：①有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；②對重合的方式有限制，也就是：把它們沿著某一條直線對折后能夠重合.

（2）對稱軸是一條直線，而非線段、射線等.

（3）對稱點是指折疊后重合的點，對稱線段也是指折疊后重合的線段，如圖1中線段AB與A′B′就是關于直線PQ對稱的線段.

2. 軸對稱圖形

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸.

提醒：軸對稱圖形是指一個圖形的本身.

3. 軸對稱與軸對稱圖形的關系

它們的主要區(qū)別是：（1）軸對稱是兩個圖形之間的對稱關系，軸對稱圖形是一個圖形自身的對稱特征；（2）軸對稱的對稱點分別是在兩個圖形上，軸對稱圖形的對稱點是在同一個圖形上；（3）兩個圖形成軸對稱，其對稱軸可能在兩個圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個圖形的內(nèi)部或它們的公共點（邊），軸對稱圖形的對稱軸一定經(jīng)過這個圖形的內(nèi)部.

它們的主要聯(lián)系是：

（1）都是沿某直線翻折后能夠互相重合的.

（2）若把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；若把軸對稱圖形沿對稱軸所在直線分成兩部分，那么這兩部分又可看成關于這條直線成軸對稱.

4. 成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)

（1）成軸對稱的兩個圖形全等.

（2）如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線.如圖1，△ABC與△A′B′C′關于直線PQ對稱，則△ABC≌△A′B′C′，PQ垂直平分線段AA′、BB′、CC′等.

（3）成軸對稱的兩個圖形，如果對稱線段（或其延長線）相交，那么交點在對稱軸上.

提醒：（1）如果兩個圖形關于某直線成軸對稱，那么這兩個圖形全等；反過來，兩個圖形全等，這兩個圖形不一定成軸對稱（如一個三角形繞其某頂點旋轉一定角度，所得的兩個全等三角形）.

（2）若兩個圖形成軸對稱，則連接對稱點的線段被對稱軸垂直平分.

5. 關于畫圖

如果一個圖形是軸對稱圖形，那么連接對稱點的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸.

而畫一個圖形的軸對稱圖形時，要先確定對稱軸，再找出對稱點.找對稱點時，關鍵是畫出一些特殊點，如線段的端點、圖形的頂點等.

二、典例剖析

例1如圖2，下列圖案中，是軸對稱圖形的是_______.

思維技巧：判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，要抓住軸對稱圖形的特征，即對于這個圖形來說，能夠找到某條直線，沿著這條直線對折，對折的兩部分能夠完全重合.

解：由軸對稱圖形的特征可知，圖中的（1）、（3）、（4）、（5）、（8）是軸對稱圖形.

點評：（1）一個圖形是不是軸對稱圖形，是針對一個圖形的整體而言的.圖形的某一部分是軸對稱圖形不代表整個圖形也是軸對稱圖形.（2）要善于變換角度去發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的對稱軸，如例1的（8）.（3）防止視角差異導致誤判.

例2試找出下列每個正多邊形的對稱軸的條數(shù)，并填入表格中.

根據(jù)上表，請就一個正多邊形對稱軸的條數(shù)作一個猜想.

思維技巧：先畫出每一個正多邊形的所有對稱軸，分析對稱軸的條數(shù)與正多邊形的邊數(shù)的關系，再通過幾個正多邊形驗證，得出一般性的結論.

解：畫出各正多邊形的對稱軸，其條數(shù)依次為3，4，5，6，8.由此可猜想：一個正n邊形的對稱軸的條數(shù)正好等于其邊數(shù)n.

例3（1）如圖4（1），已知點A、B和直線MN，試畫出點A、B關于直線MN的對稱點A′、B′.

（2）如圖4（2），已知線段AB和直線MN，試畫出線段AB關于直線MN的對稱線段A′B′.

（3）如圖4（3），已知△ABC和直線MN，試畫出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A′B′C′.

解：分別如圖5中三個圖所示.

點評：當畫某一復雜圖形關于某直線對稱的圖形時，可以先畫出它上面一些特殊的點關于直線的對稱點，再依次連接即可得到結果.

例4（最短距離問題）如圖6，直線MN表示一條小河.一牧民在點A放馬，現(xiàn)在要讓馬到河邊去飲水，然后回帳篷點B處（A、B在小河MN同旁）.問：飲水地在何處時才能使他所走的路最短？在圖中表示出代表飲水地的點.

思維技巧：要使所走的路最短，即在直線MN上找到一點，使這個點到A和到B的距離之和最小.

解：如圖7.畫點A關于直線MN的對稱點A′.連接A′B交MN于點C，點C就是所求的點.

點評：本例是利用軸對稱性質(zhì)解決實際問題的范例.作出B點關于MN的對稱點B′，連接AB′，也能找出同樣的C點.

例5（最佳點問題）設CDEF是一臺球桌的矩形臺面，A、B分別是黑、白兩個球，如圖8.如果擊打黑球A，使黑球A碰到臺球桌臺邊EF后反彈擊中白球B，黑球A應經(jīng)過怎樣的路線？

思維技巧：如果A球擊出后撞到臺邊EF上的M點反彈，恰好擊中B球，設MN是垂直EF的直線，則有∠AMN=∠BMN.∠AMN、∠BMN分別稱為入射角與反射角.大自然中，很多反射現(xiàn)象都遵循這個規(guī)律，例如光線從A處射入，經(jīng)過鏡面上一點M反射后，經(jīng)過B點，也必有∠AMN=∠BMN.故作A點關于EF對稱的點A′，連接A′B與EF相交于點M，擊打黑球A到M點，即可使黑球A擊中白球B.

探索與思考

1. 如圖9，已知P為∠AOB內(nèi)一點，請分別在OA、OB上作一點P′、P″，使△P P′P″周長最小.

2. 如圖10，四邊形ABCD是長方形彈子球臺面.有黑、白兩球分別位于E、F兩點上.試問：怎樣撞擊黑球E，才能使黑球先碰撞臺邊CD，再撞擊臺邊AD，反彈后擊中白球F？