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    和全等三角形有關(guān)的和差式的證明

    2008-09-27 09:18:10鄭俊哲
    關(guān)鍵詞:繞點(diǎn)延長(zhǎng)線輔助線

    作者簡(jiǎn)介 鄭俊哲,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教練,碩士,1995年畢業(yè)于山東曲阜師范大學(xué),中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師.所輔導(dǎo)的學(xué)生在全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中多次獲得一等獎(jiǎng),本人也多次被評(píng)為“全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員”.制作的多媒體課件多次在山東省課件評(píng)比中獲得一等獎(jiǎng).

    全等三角形是證明線段相等、角相等的一個(gè)重要工具.隨著學(xué)習(xí)的深入,出現(xiàn)了證明一些線段的和(差)等于某條線段的題目,讓學(xué)生感到困難.這時(shí),通過(guò)恰當(dāng)添加輔助線,將線段的和差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的相等問(wèn)題,同時(shí)構(gòu)造全等三角形,成為解決問(wèn)題的主要手段.

    一、與三角形、四邊形有關(guān)的線段和差問(wèn)題

    例1如圖1,△ABC中,∠A=2∠B,CD平分∠ACB.

    求證:BC=AD+AC.

    思路1:(截長(zhǎng))在BC上截取CE=CA,連接DE.如圖2.

    易證△ACD≌△ECD(SAS).

    ∴∠3=∠A=2∠B.

    ∵∠3=∠B+∠4,

    ∴∠B=∠4.

    ∴BE=DE=AD.

    ∴BC=BE+EC=AD+AC.

    思路2:(補(bǔ)短)延長(zhǎng)CA到E,使得EC=BC,連接DE.如圖3.

    由條件推出△CED≌△CBD(SAS).

    與思路1相仿,由∠E=∠B,∠BAC=2∠B,得∠4=∠E.AE=AD.下略.

    點(diǎn)評(píng):對(duì)于線段之間的和差關(guān)系,常采用“截長(zhǎng)”、“補(bǔ)短”等添加輔助線方法,構(gòu)造全等三角形,從而轉(zhuǎn)化為兩線段間的相等關(guān)系.

    例2如圖4,△ABC中,∠B=2∠C,AD垂直BC于D.

    求證:CD=AB+BD.

    思路:如圖5,在DC上截取DE=DB,連接AE.

    易知△ABD≌△AED(SAS).

    ∴AB=AE,∠2=∠B.

    又∠B=2∠C,得∠1=∠C,AE=CE.

    ∴CD=CE+DE=AE+DE=AB+DE=AB+BD.

    點(diǎn)評(píng):本解法是截長(zhǎng)的方法.也可用補(bǔ)短的方法去證:延長(zhǎng)DB到E,使BE=BA,連接AE.讀者不妨自己試試.

    例3如圖6,等邊△ABC中,延長(zhǎng)BA到D,延長(zhǎng)BC到E.若DC=DE,求證:AD=AC+CE.

    思路:如圖7,延長(zhǎng)BC到F,使EF=BC,連接DF.因EF=BC=AC,故只要證CF=AD即可.

    易證△DCB≌△DEF(SAS).

    ∠F=∠B=60°.

    故△DBF是等邊三角形.

    ∴BD=BF.

    而BA=BC,故AD=CF=CE+EF=CE+AC.證畢.

    點(diǎn)評(píng):本題還可以作以下輔助線證明:作EM∥AC交BD于M.證明△ACD≌△MDE(AAS).

    例4如圖8,AE∥BC,AD、BD分別是∠EAB、∠CBA的平分線.過(guò)點(diǎn)D的直線EC交AE于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)C.求證:AE+BC=AB.

    思路1:(截長(zhǎng))在AB上截取AF,使AF=AE,連接DF.如圖9.

    易證△ADE≌△ADF(SAS).

    ∴∠E=∠AFD.

    ∵AE∥BC,

    ∴∠E+∠C=180°.

    又∵∠AFD+∠BFD=180°,

    ∴∠C=∠BFD.

    ∴△BDF≌△BDC(AAS).

    ∴BF=BC.AE+BC=AF+BF=AB.

    思路2:(補(bǔ)短)如圖10,延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于F.要證AE+BC=AB,只需要證明AB=BF和AE=CF.

    由題設(shè)∠1=∠F=∠2,△ABF是等腰三角形.

    ∴AB=BF.

    又BD是∠FBA的平分線,由等腰三角形“三線合一”知AD=FD.

    ∴△ADE≌△FDC(ASA).AE=CF.

    ∴AE+BC=CF+BC=BF=AB.

    二、運(yùn)動(dòng)型線段和差問(wèn)題

    例5如圖11(1),在正方形ABCD中,點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn),連接PA.分別過(guò)點(diǎn)B、D作BE⊥PA,DF⊥PA,垂足分別為E、F.

    (1)請(qǐng)?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長(zhǎng)度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

    (2)若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上(如圖11(2)),那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

    (3)若點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上(如圖11(3)),那么這三條線段的長(zhǎng)度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.

    簡(jiǎn)解:(1)結(jié)論是:BE-DF=EF.

    注意同角的余角相等,易證△ABE≌△DAF(AAS).

    所以EF=AF-AE=BE-DF.

    (2)結(jié)論是:DF-BE=EF.

    與(1)類似,易證△ABE≌△DAF(AAS).

    所以EF=AE-AF=DF-BE.

    (3)結(jié)論是:DF+BE=EF.理由略,請(qǐng)讀者自行探究.

    點(diǎn)評(píng):本題是典型的運(yùn)動(dòng)型線段和差問(wèn)題.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,圖中某些線段保持相似或相同的數(shù)量關(guān)系.本題的證明中應(yīng)用三角形全等的性質(zhì),“化解”了線段間的和差關(guān)系.一般來(lái)說(shuō),這類題目的證法基本相同或類似.但在個(gè)別情況下,線段間不保持原有的關(guān)系.

    練習(xí)

    1. 如圖12,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,∠1=∠2.求證:AC+CD=BC.

    提示:在CB上截取CE=CD,連接DE.證明△ABD≌△EBD(AAS).

    2. 如圖13,△ABC中,AD為∠BAC的平分線.M為BC的中點(diǎn),ME∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E,交AC于F.求證:CF=BE,AB+AC=2BE.

    提示:延長(zhǎng)EM到G,MG=FM,連接BG,證△BMG≌△CMF.

    3. 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

    (1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(1)的位置時(shí),求證:DE=AD+BE.

    (2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(2)的位置時(shí),求證:DE=AD-BE.

    (3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(3)的位置時(shí),試問(wèn):線段DE,AD,BE具有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)加以證明.

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