《分式》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

呂前桂

一、重點(diǎn)和難點(diǎn)

1. 重點(diǎn)：正確認(rèn)識(shí)和掌握分式的有關(guān)概念及性質(zhì)，熟練地進(jìn)行分式的四則運(yùn)算.

2. 難點(diǎn)：異分母分式加減運(yùn)算的準(zhǔn)確性，分式方程的解法以及分式知識(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

二、知識(shí)精析

1. 對(duì)分式的概念，要注意三點(diǎn)：①分式是形如的式子，其中A、B是整式；②分母B中含有字母（這是分式與分?jǐn)?shù)的根本區(qū)別）；③分母B的值不能是0，否則分式?jīng)]有意義.

2. 分式的基本性質(zhì)：=，=（M是不為0的整式）．它是分式運(yùn)算的重要依據(jù)，要熟練掌握，靈活運(yùn)用.

3. 分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，用式子表示就是：==－=-.

4. 分式的約分與通分.

約分的關(guān)鍵是確定分子和分母的公因式．當(dāng)分子、分母的系數(shù)是整數(shù)時(shí)，約去它們的最大公約數(shù)；約去分子、分母中相同因式的最低次冪．約分后的結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式.

通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母（各分母所有因式的最高次冪的積），然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將異分母分式化成同分母分式.

5. 分式的除法可化為乘法，減法可化為加法．這是數(shù)學(xué)上常用的轉(zhuǎn)化思想.

6. 解分式方程要注意兩點(diǎn)：一是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；二是驗(yàn)根.轉(zhuǎn)化的方法是在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母；解得的根要代入最簡(jiǎn)公分母中進(jìn)行檢驗(yàn)，使最簡(jiǎn)公分母為0的根是增根，應(yīng)舍去.

7. 對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題，要抓住可用分式表示等量關(guān)系這一點(diǎn)，仔細(xì)分析各種量之間的關(guān)系，靈活設(shè)未知數(shù)．還要注意，所求方程的解要符合實(shí)際.

8. 注意數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．對(duì)分式的學(xué)習(xí)，要善于類(lèi)比分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識(shí)．類(lèi)比思想是探究數(shù)學(xué)問(wèn)題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重要的思想方法.

三、解題技巧

例1 x取什么值時(shí)，的值為0？

解析：依題意，有x-4=0，

x+4≠0，得x=±4，

x≠－4.所以x=4時(shí)，原式的值為0.

評(píng)注：求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可構(gòu)造方程和不等式．分別求出它們的解或解集，再確定它們的公共部分.

例2 有一道題“先化簡(jiǎn)，再求值：

+

÷，其中x=-”，小玲做題時(shí)把“x=-”錯(cuò)抄成“x=”，但她的計(jì)算結(jié)果也是正確的，請(qǐng)你解釋這是怎么回事.

解析：原式=·（x2-4）=x2+4．因?yàn)楫?dāng)x=-或x＝時(shí)，x2的值均為3，原式的值都為7，所以把“x=-”錯(cuò)抄成“x=”，其計(jì)算結(jié)果仍是正確的.

評(píng)注：本題要求探索外表中所隱藏的本質(zhì)特性．探索的途徑是細(xì)心演算，看原式化簡(jiǎn)的最終結(jié)果是什么，然后從中尋找原因.

例3 已知x+=2，求的值.

解析：將已知等式兩邊平方，得x+

2=4，即x2+=2.所以，原式=x2+1+=2+1=3.

評(píng)注：本題的關(guān)鍵是根據(jù)求值式的特點(diǎn)，逆向思考．將所求分式分拆為x2+1+，然后由已知條件求出x2+=2，整體代入求值.

例4 若關(guān)于x的方程＝＋2無(wú)解，則m的值是 ．

解析：由于原方程無(wú)解，所以此方程有增根x=3.將原方程去分母、化簡(jiǎn)，整理得m+x-4=0.再將x=3代入其中，求得m=1.

評(píng)注：本題根據(jù)分式方程的增根使其最簡(jiǎn)公分母的值為0這一特性，巧妙求出了m的值.

例5 若-=3，則分式的值為（）.

A. B. -C.D. 1

解析：由已知得x-y=-3xy.所以，原式===.應(yīng)選C．

評(píng)注：根據(jù)求值式和已知條件的特點(diǎn)，采用整體代入法求值，這在分式求值中經(jīng)常應(yīng)用.

例6 某人原計(jì)劃完成加工15個(gè)機(jī)器零件的任務(wù)，由于改進(jìn)加工技術(shù)，實(shí)際加工的效率提高到原來(lái)加工效率的1.2倍，結(jié)果提前半小時(shí)完成任務(wù)．求實(shí)際加工的效率.

解析：設(shè)原來(lái)加工的效率為x個(gè)/ h，則實(shí)際加工的效率為1.2x個(gè)/ h．由題意得：=+，解得x=5.經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的解.而1.2x=6，故實(shí)際加工的效率為6個(gè)/ h.

評(píng)注：不直接設(shè)出要求的未知量，而是設(shè)另一個(gè)量作為未知數(shù)，待求出這個(gè)量后再計(jì)算所求的量，這種方法稱(chēng)為間接設(shè)未知數(shù)法．它往往能給解題過(guò)程帶來(lái)極大方便.

例7 請(qǐng)你編一道能用可化為一元一次方程的分式方程來(lái)解的應(yīng)用題，并給出解答.

編題要求：①要聯(lián)系生活實(shí)際，其解符合實(shí)際；②根據(jù)題意列出的分式方程只含兩個(gè)分式，不含常數(shù)項(xiàng)，分式的分母均含有未知數(shù)，能化為一元一次方程；③題目完整，題意清楚.

解析：第一，由題意確定一個(gè)有實(shí)際意義的數(shù)字，如5，把它當(dāng)作所編應(yīng)用題的方程的一個(gè)根，并建立一個(gè)合乎題設(shè)要求的等式，如=.

第二，把上述等式中的5用未知數(shù)x來(lái)代替，變等式為分式方程，即=.

第三，根據(jù)方程編出應(yīng)用題．如：甲、乙兩人加工某種機(jī)器零件，已知甲每小時(shí)比乙多加工2個(gè)，且甲加工10個(gè)所用的時(shí)間與乙加工6個(gè)所用的時(shí)間相等，求甲、乙每小時(shí)各加工多少個(gè)零件.

第四，解答所編應(yīng)用題．解答略．

評(píng)注：本題屬開(kāi)放型問(wèn)題，其答案不唯一.

四、易錯(cuò)點(diǎn)直擊

1． 不該約分時(shí)約分而出錯(cuò)．

例8 當(dāng)x取何值時(shí)，分式無(wú)意義？

錯(cuò)解：==，所以，當(dāng)x=2時(shí)，分式無(wú)意義.

剖析：上解錯(cuò)誤出在約分這一步．約分約去了分子、分母的公因式，擴(kuò)大了x的取值范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤產(chǎn)生.

正解：由x2-5x+6=0，有（x-2）（x-3）=0，所以x=2或x=3.故當(dāng)x=2或x＝3時(shí)，分式無(wú)意義.

2． 忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用而出錯(cuò).

例9 計(jì)算：-.

錯(cuò)解：原式==0.

剖析：運(yùn)算中沒(méi)有注意分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

正解：原式===-.

3． 沒(méi)按運(yùn)算順序計(jì)算而出錯(cuò).

例10 計(jì)算：÷·（x-y）.

錯(cuò)解：原式=÷x=.

剖析：上述解法錯(cuò)在先算乘法，后算除法，違背了運(yùn)算順序．在同級(jí)運(yùn)算中，應(yīng)按照從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算．本題應(yīng)先算除法，后算乘法.

正解：原式=··（x-y）=（x+y）（x-y）=x2-y2.

4． 計(jì)算時(shí)去分母出錯(cuò).

例11 計(jì)算：+x+y.

錯(cuò)解：原式=y2+（x+y）（x-y）=y2+x2-y2=x2.

剖析：解分式方程可以去分母，但這里卻將分式計(jì)算同解分式方程混為一談．分式計(jì)算中當(dāng)分母不同時(shí)，應(yīng)該先通分后計(jì)算.

正解：原式=+==.

5． 符號(hào)變化時(shí)出錯(cuò).

例12 計(jì)算：-a-1.

錯(cuò)解：原式=-===.

剖析：錯(cuò)誤出在將“-a-1”看作分母是1的“分式”時(shí)，應(yīng)寫(xiě)成或-，而不是-．上面的錯(cuò)解顯然忽視了符號(hào)變化.

正解：原式=-===.

6． 錯(cuò)用分配律而出錯(cuò).

例13 計(jì)算：÷（m-n）-

.

錯(cuò)解：原式=÷（m-n）-÷=-1=.

剖析：除法沒(méi)有分配律，比如a÷（b+c）≠a÷b+a÷c.

正解：原式=÷

=÷

=.

7． 忽略方程可能產(chǎn)生增根而出錯(cuò).

例14 已知關(guān)于x的方程-2=有正數(shù)解，求m的取值范圍.

錯(cuò)解：將原方程去分母，得x-2（x-3）=m.所以x=6-m.又因?yàn)樵匠逃姓龜?shù)解，所以6-m＞0，即m＜6.

剖析：上面的解法只注意了“正數(shù)解”這一條件，而忽視了分式方程可能產(chǎn)生增根的特點(diǎn)，從而導(dǎo)致出錯(cuò).

正解：同上解……因原方程有正數(shù)解，故6-m＞0，且6-m≠3.故m＜6且m≠3.

五、相關(guān)中考題鏈接

1. （天津）已知-=4，則的值為（）.

A. 6 B. -6 C. D. -

2. （黃岡市）計(jì)算-÷的結(jié)果為（）.

A. 1 B. C. D.

3. （南寧市）以下是方程-=1去分母后的結(jié)果，其中正確的是（）.

A. 2-1-x=1 B. 2-1+x=1 C. 2-1+x=2x D. 2-1-x=2x

4. （福州市）請(qǐng)?jiān)谙旅娴摹癧”、“]”中分別填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使等式成立：

5. （連云港市）觀察下列各等式中數(shù)字的特征：-=×，-=×，-=×．將你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含字母a、b的等式表示出來(lái)： .

6. （遼寧）先化簡(jiǎn)，再求值：＋＋，其中a＝，b＝．

7. （常德市）先化簡(jiǎn)代數(shù)式

＋

÷，然后選取一個(gè)你喜歡的x的值代入求值.

8. （南通市）某中學(xué)圖書(shū)館添置圖書(shū)，用240元購(gòu)進(jìn)一種科普書(shū)，同時(shí)用200元購(gòu)進(jìn)一種文學(xué)書(shū)．由于科普書(shū)的單價(jià)比文學(xué)書(shū)的單價(jià)高50％，因此學(xué)校購(gòu)買(mǎi)的文學(xué)書(shū)比科普書(shū)多4本．求文學(xué)書(shū)的單價(jià)．

9. （北京）解分式方程：

+=2.

10. （長(zhǎng)沙市）在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，某鎮(zhèn)決定對(duì)一段公路進(jìn)行改造．已知這項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)做需要40天完成；如果由乙工程隊(duì)先單獨(dú)做10天，那么剩下的工程還需兩隊(duì)合做20天才能完成.

（1）求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)．

（2）求兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù).

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1. A2. A3. C4.-（答案不唯一）5. －=·或

－

＝

·6. .7. 原式=x2＋1.代值略（不唯一，但不能為±1）．8. 10元 ／ 本．9. x=3．10. （1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，依題意有：+

+

20=1.解之得x=60.經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解.乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需60天．（2）設(shè)兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需y天，由題意有：

+

y=1.解得y=24.兩隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程需24天.