談有關(guān)極差、方差的常見誤區(qū)

郭愛英

我們知道，在兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)分別相同或相差無幾的情況下，對這兩組數(shù)據(jù)的評價一般都是請方差“出山”，由方差來定奪.而且人們常常對方差較小的一組數(shù)據(jù)另眼相看，認(rèn)為方差小的“較好”.這其實(shí)是對方差的一種誤解.

例1某學(xué)校欲從甲、乙兩人中選出一人參加市中學(xué)生運(yùn)動會100 m短跑比賽.體育老師組織他們進(jìn)行集訓(xùn)，并把10天的訓(xùn)練成績用折線圖進(jìn)行了記錄（如圖1所示）.請問：學(xué)校選誰去參加較合理呢？

對于這個問題，我們首先想到的是看誰的成績較好，于是分別計算他們的平均成績.從折線圖中可以知道，甲10次的成績分別是（單位：s）：

18171616151414131413

平均成績是15 s.

乙10次的成績分別是（單位：s）：

17161515141514141515

乙的平均成績也是15 s.

由于兩人的平均成績相同，所以接下來自然就想到比較他們的方差，看誰比較穩(wěn)定.根據(jù)方差計算公式易知，甲10次成績的方差是2.6，乙是0.8.

至此，許多同學(xué)就不約而同地認(rèn)為：因為甲的方差比乙大，所以甲的成績波動性大，不穩(wěn)定；乙的方差小，成績較穩(wěn)定.因此，選乙參加較合理.

這樣的看法是錯誤的.從折線統(tǒng)計圖可以發(fā)現(xiàn)，10天的訓(xùn)練成績中，甲雖然不太穩(wěn)定，但主要是因為在訓(xùn)練的頭幾天成績較差些.經(jīng)過幾天訓(xùn)練后成績有明顯的提高，說明他進(jìn)步快，很有潛力.而乙的進(jìn)步較慢，到了后幾天就停滯不前，甚至退步.另一方面，在10次成績中，甲有5次的成績在15 s內(nèi)，而乙卻只有3次.

正確結(jié)論是：如果學(xué)校想求穩(wěn)，應(yīng)選乙，因為在平均成績相同的情況下乙的成績比甲穩(wěn)定；如果學(xué)校想爭奪冠軍，應(yīng)選甲，因為甲有2次的成績達(dá)到了13 s，很有奪冠的可能.

例2已知一組數(shù)據(jù)0，-1，x，1，2的極差是3，求x的值.

錯解：由題設(shè)得2-x=3，解得x=-1.

正解：（1）當(dāng)x為這組數(shù)據(jù)的最大值時，有x-（-1）=3.解得x=2.

（2）當(dāng)x為這組數(shù)據(jù)的最小值時，有2-x=3，解得x=-1.

故x=2或x=-1.

反思：錯解錯在受思維定勢的影響，考慮問題不周密.這組數(shù)據(jù)中的x，既有可能是這組數(shù)據(jù)中的最大值，也有可能是這組數(shù)據(jù)中的最小值.

例3甲、乙兩工人生產(chǎn)直徑為40 mm的某種零件.現(xiàn)各抽取兩人加工的5只零件檢查，量得尺寸如下（單位：mm）.

甲：4241403938 乙：40.540.14039.939.5

問：哪位工人生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好？

錯解：甲、乙兩工人生產(chǎn)零件尺寸的平均數(shù)分別為：

x=×（42+41+40+39+38）=40. x=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40.

所以兩工人生產(chǎn)的零件質(zhì)量一樣好.

正解：同錯解，計算可得x=x=40.

甲生產(chǎn)零件的尺寸，極差為42-38=4.方差為[s][2][甲]=×［（42-40）2+（41-40）2+…+（38-40）2］=2.

乙生產(chǎn)零件的尺寸，極差為40.5-39.5=1.方差為[s][2][乙]=×［（40.5-40）2+（40.1-40）2+…+（39.5-40）2］=0.104.

所以乙工人生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好.

反思：分析數(shù)據(jù)不應(yīng)該只從平均數(shù)上分析，還應(yīng)該結(jié)合方差、極差來進(jìn)行分析.方差、極差都可以反映數(shù)據(jù)的波動情況，其值越小波動越小，并且方差能比極差更精確地刻畫波動的情況.