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    對(duì)方差計(jì)算公式的探究

    2008-08-26 11:26:16莊億農(nóng)
    關(guān)鍵詞:平均數(shù)化簡(jiǎn)計(jì)算公式

    莊億農(nóng)

    方差是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)程度的統(tǒng)計(jì)量.方差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)性就越大,數(shù)據(jù)就越不穩(wěn)定.常用計(jì)算公式s2=[(x1-[x])2+(x2-[x])2+…+(xn-[x])2]來(lái)求數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差.由于公式中用到的數(shù)據(jù)較多,所以計(jì)算比較煩瑣.下面,我們介紹幾種簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧.

    一、簡(jiǎn)化計(jì)算公式

    因?yàn)閚[x]=x1+x2+…+xn,而(x1-[x])2+(x2-[x])2+…+(xn-[x])2=x12-2x1[x]+[x]2+x22-2x2[x]+[x]2+…+xn2-2xn[x]+[x]2=x12+x22+…+xn2-2[x](x1+x2+…+xn)+n[x]2=x12+x22+…+xn2-2n[x]2+n[x]2=x12+x22+…+xn2-n[x]2.所以s2=(x12+x22+…+xn2-n[x]2)=(x12+x22+…+xn2)-[x]2.從化簡(jiǎn)后的公式可以看出,這里數(shù)據(jù)的平均數(shù)沒(méi)有參與到較復(fù)雜的運(yùn)算中,這樣就使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化,特別是當(dāng)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí),利用這個(gè)公式求方差就更方便.如求數(shù)據(jù)3,-1,2,1,-3,3的方差時(shí),先求其平均數(shù)[x]=(3-1+2+1-3+3)=,若用原公式計(jì)算方差,就會(huì)出現(xiàn)很多分?jǐn)?shù)的平方,計(jì)算起來(lái)比較麻煩.但若采用化簡(jiǎn)后的公式,則s2=[32+(-1)2+22+12+(-3)2+32]-

    2=-=,這樣就避免了多次計(jì)算分?jǐn)?shù)平方的情況.

    二、數(shù)據(jù)加減后的方差

    若一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為[x],方差為s2,把這組數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a,其平均數(shù)為[x]+a,方差為[(x1+a-[x]-a)2+(x2+a-[x]-a)2+…+(xn+a-[x]-a)2]=[(x1-[x])2+(x2-[x])2+…+(xn-[x])2]=s2,即方差不變.同樣,把這組數(shù)據(jù)同減去一個(gè)常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)x1-a,x2-a,…,xn-a,其平均數(shù)為[x]-a,方差仍然為s2.利用方差的這個(gè)特點(diǎn),可以簡(jiǎn)化方差的求解過(guò)程.比如求數(shù)據(jù)2 011,2 007,2 010,2 009,2 005,2 011的方差時(shí),如果直接計(jì)算,運(yùn)算量較大,容易出錯(cuò),觀(guān)察發(fā)現(xiàn),可以先將每個(gè)數(shù)據(jù)減去2 008,得到一組新的數(shù)據(jù)3,-1,2,1,-3,3,再求這組數(shù)據(jù)的方差就很容易了.

    三、數(shù)據(jù)放縮后的方差

    若將一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn(其平均數(shù)為[x])同時(shí)乘以m(相當(dāng)于放縮),得到一組新數(shù)據(jù)m x1,m x2,…,m xn,其平均數(shù)顯然為m[x],方差為[(mx1-m[x])2+(mx2-m[x])2+…+(mxn-m[x])2]=[m2(x1-[x])2+m2(x2-[x])2+…+m2(xn-[x])2]=m2s2,即將一組數(shù)據(jù)同時(shí)乘以m,其方差按照m2作相應(yīng)的放縮.利用這個(gè)特征,一樣可以簡(jiǎn)化方差的求解過(guò)程.如求數(shù)據(jù)18,-6,12,6,-18,18的方差時(shí),可以先將每個(gè)數(shù)據(jù)乘以,得到數(shù)據(jù)3,-1,2,1, -3,3,易求得這組數(shù)據(jù)的方差為s2=,則數(shù)據(jù)18,-6,12,6,-18,18的方差為62s2=173.

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