認(rèn)識“三垂”

陳德前江蘇省數(shù)學(xué)特級教師，江蘇省興化市教育局教研室副主任，中國管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會特約研究員，江蘇省考試研究會會員，江蘇省教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)委員會會員，泰州市教育學(xué)會數(shù)學(xué)教育委員會會員，泰州市人民政府兼職督學(xué)，泰州市數(shù)理化學(xué)會會員，泰州市教育學(xué)會副秘書長.

這里要說的“三垂”是指垂直、垂線、垂足，它們都有一個“垂”字，且都與直角有關(guān)，但又有著明顯的區(qū)別.垂直是指兩條直線之間的一種特殊位置關(guān)系，即兩條直線相交所成的角是直角.垂線是一個名稱，兩條直線互相垂直，我們就可以說其中一條直線是另一條直線的垂線.只有一條直線，我們不能說它是垂線.垂足也是一個名稱，互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)即為垂足，它是一個點(diǎn).

如圖1，直線AB和直線CD相交于O點(diǎn)，且∠AOD=90°，那么直線AB與直線CD就互相垂直，我們可以用AB⊥CD來表示.直線AB是直線CD的垂線，直線CD 也是直線AB的垂線，O為垂足.

1. 學(xué)習(xí)垂線必須要注意的幾點(diǎn)

（1）不能認(rèn)為只有水平線和鉛垂線才互相垂直，兩條直線是否互相垂直是由兩條直線的夾角決定的，而與兩條直線的放置方法無關(guān).

（2）兩條直線相交所成的角是直角，這兩條直線就互相垂直. 反之，兩條直線互相垂直，這兩條直線相交所成的角是直角.要注意，兩條直線互相垂直構(gòu)成直角并不能作為直角的定義.

（3）互相垂直的概念可以擴(kuò)大到線段或射線上.如果兩條直線互相垂直，則在這兩條直線上分別取線段或射線也必然互相垂直.兩條線段或兩條射線所在的直線相交所成的角是直角，這兩條線段或射線就互相垂直（如圖2）.

2. 畫互相垂直的兩條直線的方法

（1）利用方格紙畫.利用方格紙可以畫出互相垂直的線段，如圖3，AB⊥CD，垂足為O，EF⊥GH，垂足為P.

（2）利用三角板畫.當(dāng)需要經(jīng)過直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線時，我們可以利用三角板來畫.利用三角板過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線的一般步驟如下.

①靠：將三角板的一條直角邊緊靠已知直線.

②移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過直線外的已知點(diǎn).

③畫：沿經(jīng)過已知點(diǎn)的直角邊畫一條直線.

畫一條線段或一條射線的垂線，就是畫線段或射線所在直線的垂線.

3. 垂線的性質(zhì)

（1）互相垂直的兩條直線所成的4個角都是直角.

（2）在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.可以簡單說成垂線段最短.

4. 點(diǎn)到直線的距離

從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.如圖4，垂線段PO的長度就是點(diǎn)P到直線l的距離，其余各線段PA、PB等的長度都不是點(diǎn)P到直線l的距離.

必須注意，點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長度，是一個數(shù)量，因此下列說法都是錯誤的：（1）垂線段PO是點(diǎn)P到直線l的距離；（2）畫出點(diǎn)P到直線l的距離.

5. 注意區(qū)分兩組概念

（1）垂線與垂線段.它們都具有垂直于已知直線的特征，垂線是一條直線，其長度不能度量，而垂線段是一條線段，可以度量長度，它是垂線的一部分.

（2）兩點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到直線的距離.它們都是指線段的長度，是一個數(shù)量，都具有“最小”的特征.但前者是指連接兩點(diǎn)的線段的長度，后者是指點(diǎn)到直線的垂線段的長度（可以視為這一點(diǎn)與垂足之間的線段長）.

6. 例題精析

例1如圖5，∠1=53°，∠2=37°，則直線CD與直線CE的位置關(guān)系是.

[解析：]先求出∠DCE的大小，再根據(jù)角來判定直線的位置關(guān)系.

因為∠DCE=180°-∠1-∠2=180°-53°-37°=90°，所以CD⊥CE.

例2如圖6，在鐵路l旁有一個城鎮(zhèn)A，現(xiàn)在要建一個火車站，使城鎮(zhèn)A離火車站最近，請你在鐵路上選一點(diǎn)建火車站.

[解析：]要使點(diǎn)到直線的距離最小，可以考慮垂線段.

過A點(diǎn)向直線l作垂線，垂足為B，則B點(diǎn)即為建火車站的地方（如圖6）.

例3如圖7，在平面內(nèi)，兩條直線l1、l2相交于O點(diǎn).對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，若p、q分別是點(diǎn)M到直線l1、l2的距離，則稱（p，q）為點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”．根據(jù)上述規(guī)定，圖7中“距離坐標(biāo)”是（2，1）的點(diǎn)共有個．

[解析：]在平面內(nèi)，兩條直線l1、l2相交于O點(diǎn)，則平面被直線l1、l2分成4部分，每個部分都有1個點(diǎn)到直線l1、l2的距離分別為p、q，因此這樣的點(diǎn)有4個.根據(jù)題中的規(guī)定，“距離坐標(biāo)”是（2，1）的點(diǎn)共有4個.應(yīng)填4.

【責(zé)任編輯：潘彥坤】