相交線與平行線中的數(shù)學(xué)思想

鄭坤苓

同學(xué)們，在“相交線與平行線”這一章里，包含著很多數(shù)學(xué)思想方法，大家注意到了嗎？下面我們就來歸納一下.

1. 方程思想

幾何中常有一些求線段的長度或求角的大小的問題，對于這一類問題，我們可以借助題中的已知量與未知量之間的關(guān)系，想辦法建立方程進(jìn)行求解.

例1如圖1，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2 ∶3 ∶ 4，求∠α、∠D、∠B的大小.

[分析：]由已知∠α ∶ ∠D ∶ ∠B=2 ∶ 3 ∶ 4，可以分別設(shè)∠α、∠D、∠B為2x°、3x°、4x°，再利用已知條件列出方程進(jìn)行求解.

解： 設(shè)∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.

因?yàn)?FC∥AB∥DE，所以 ∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°.從而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°-3x°.

又因?yàn)椤?+∠2+∠α=180°，所以有

（180-3x）+（180-4x）+2x=180.

解得x=36.

所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.

[評注：]解決這類問題，不僅要熟悉圖形的性質(zhì)，還要善于進(jìn)行等量代換，把未知量和已知量逐步聯(lián)系起來.當(dāng)解決問題的過程比較復(fù)雜時(shí)，思路要清晰，語言表達(dá)要嚴(yán)密.

2. 轉(zhuǎn)化思想

在幾何推理中，已知條件和要求的結(jié)論之間常常需要轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化條件、轉(zhuǎn)化問題是常用的推理形式，必要時(shí)還要添加輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例2如圖2，BD⊥AC于D，F(xiàn)G⊥AC于G，ED∥BC.試判斷∠1與∠2的關(guān)系，并說明理由.

[分析：]觀察圖形，我們不能迅速找到∠1和∠2的關(guān)系，但由BD⊥AC于D，F(xiàn)G⊥AC于G，可得BD∥FG，則∠2=∠3.由ED∥BC，可得∠1=∠3.∠1和∠2都與∠3有關(guān)，我們可以借助∠3進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解： 因?yàn)锽D⊥AC，F(xiàn)G⊥AC，所以∠BDC=∠FGC=90°.故BD∥FG，從而可知∠2=∠3.

因?yàn)镋D∥BC，所以∠1=∠3.

故∠1=∠2.

[評注：]這道題涉及“相交線與平行線”這一章中的重要知識點(diǎn)，大家要能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)、判定定理.要看準(zhǔn)“三線八角”，分清平行線的判定與性質(zhì)，并能通過圖形將條件靈活轉(zhuǎn)化.

例3如圖3，一條公路GA修到湖邊時(shí)，要拐彎繞湖而過.第一次拐彎形成的角是∠A，且∠A=120°；第二次拐彎形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐彎形成的角是∠C，這時(shí)的道路CD恰好和第一次拐彎之前的道路GA平行.你知道∠C是多少度嗎？

[分析：]解答此題需要借助輔助線把這三個(gè)角聯(lián)系起來.既然題目中有平行關(guān)系，那么我們就要想辦法把平行線和角聯(lián)系起來.

解： 如圖3，過點(diǎn)B作EF∥GA，則∠1=∠A=120°.

因?yàn)椤螦BC=150°，所以∠2=∠ABC-∠1=150°-120°=30°.

因?yàn)镚A∥CD，EF∥GA，所以EF∥CD.

故∠2+∠C=180°.

從而可得∠C=180°-∠2=180°-30°=150°.

[評注：]在解題的過程中，有時(shí)僅利用現(xiàn)有條件不容易得出結(jié)果，這時(shí)我們就要巧妙添加輔助線，將問題與條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3. 分類討論思想

在幾何題中，有些題目未給出圖形，這時(shí)我們就要結(jié)合題意畫出圖形，再解決問題.這一過程常具有多樣性，我們需要分類討論.

例4在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，請你嘗試探索∠ABC和∠DEF的關(guān)系.

[分析：]這道題的圖形有很多種不同的畫法，但題中的兩個(gè)角的關(guān)系只有兩種，如圖4（1）和圖4（2）.

解： 如圖4，有兩種不同的情況.

在圖4（1）中，因?yàn)镈E∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.

在圖4（2）中，因?yàn)镈E∥AB，所以∠ABC+∠1=180°.又因?yàn)镋F∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC+∠DEF=180°.

[評注：]題中沒有給出圖形，我們畫圖時(shí)要考慮可能存在的所有情況，以免漏解.

【責(zé)任編輯：潘彥坤】

十億分之一秒——在計(jì)算機(jī)上測量時(shí)間

一個(gè)電脈沖在十億分之一秒里行進(jìn)了8 英寸．光在十億分之一秒里掠過了一英尺．今天的計(jì)算機(jī)每秒鐘能運(yùn)算百萬次．

讓我們感受一下一臺大型計(jì)算機(jī)能夠以多快的速度進(jìn)行工作，假定我們考慮的時(shí)間為半秒．在半秒時(shí)間內(nèi)計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行以下任務(wù)：

（1）將200 張支票錄入300 個(gè)不同的銀行賬目中；

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（3）對3 000 張?jiān)嚲?50 000 個(gè)答案進(jìn)行評分，并正確評價(jià)每個(gè)問題；

（4）為一個(gè)公司的1 000 名員工計(jì)算工資；

（5）還有多余的時(shí)間可做其他工作．