“花開滿堂”又未“圓”

蔡衛(wèi)兵

為方便闡述，現(xiàn)將《中學數(shù)學雜志》2006年第5期“此處花開香滿堂”簡稱文^[1]，《中學數(shù)學教學參考》2007年第6期“一堂節(jié)外生枝的數(shù)學課”簡稱文^[2]，《中學數(shù)學雜志》2007年第6期“‘花開滿堂并未‘圓”簡稱文^[3]，原題：如圖1，正方形ABCD和正方形EFGC的邊長分別為a、b，用含a、b的代數(shù)式表示△DBF的面積.

1 原文概述

文^[1]表述了6個學生的不同解法，抓住正方形的本質(zhì)特征，凸顯轉(zhuǎn)化思想，結(jié)果是S△DBF=12a²，描述了學生在興趣的指引下思維大放異彩，產(chǎn)生了一連串精彩的回答. 文^[2]闡述了學生對原題的一個變式的自主探索，變式：如圖2，如果題目條件不變，求△AEG的面積. 學生大膽而熱情地表達自己的思維成果，尋求最佳解法，結(jié)果是S△AGE=12b²，充分關注學生解題的過程分析，總結(jié)提煉解法的本質(zhì)，可謂是一堂富有生機、充滿活力、體現(xiàn)創(chuàng)新精神的數(shù)學活動課. 文^[3]重視了解題的結(jié)果分析，發(fā)現(xiàn)了原題與變式都出現(xiàn)題設條件過剩的共性問題，以此為契機，探究若正方形ABCD繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)，在什么情況下正方形EFGC的邊長不影響△DBF的面積，揭示了問題的本質(zhì)特征.

2 提取信息，拓展問題

非常明顯，上述問題只有當點D在EC或EC的延長線上時，不論正方形EFGC的邊長如何變化，△DBF的面積都是12a²(定值)，體現(xiàn)了正方形和圖形對稱性的基本特征，那么對于其它的正多邊形是否有共性問題呢，由此產(chǎn)生的思維火花的碰撞，不正是培養(yǎng)學生的批判思維、探究能力和創(chuàng)新精神的最佳時機嗎?

問題1 如圖3，正△ABC和正△CDE，點A在EC邊上，若只知道正△ABC的邊長為a，能否用含a的代數(shù)式表示△ABD的面積?

問題2 若正△ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)，在什么情況下正△CDE的邊長不影響△ABD的面積?

問題3 如圖4，正五邊形ABCDE和正五邊形A1B1CD1E1，點D在CD1上，若只知道正五邊形ABCDE的邊長為a，能否用含a的代數(shù)式表示△ADA1的面積?

問題4 如圖5，正六邊形ABCDEF和正六邊形A1B1CD1E1F1，點D在CD1上，若只知道正六邊形ABCDEF的邊長為a，能否用含a的代數(shù)式表示△AF1D的面積?你還能表示哪些類似于△AF1D的三角形的面積?

圖3 圖4 圖5結(jié)合“原題”與問題，明確目標，類比聯(lián)想，靈活遷移，問題1，△ABD的面積轉(zhuǎn)化△ABC的面積=34a²；問題2，列舉各種情況圖形，只有當點A在EC或EC的延長線上時，不論正△CDE的邊長如何變化為△ABD的面積都是34a²(定值)；問題3，連結(jié)CA1，△ADA1，的面積可轉(zhuǎn)化為△ADC的面積=14tan72°·a²；問題4，連結(jié)CF1，將△CF1D的面積轉(zhuǎn)化為△ADC的面積=32a²，還有圖5中的△BDE1的面積可轉(zhuǎn)化為△BDC的面積=34a²，△FDA1的面積可轉(zhuǎn)化為△FDC的面積=32a²，△EDB1的面積可轉(zhuǎn)化為△EDC的面積=34a²等等.

3 整合信息，深化問題

萊布尼茨(G.W.Leibniz)曾說過：“解題既要展示‘解的思維過程，又要探索‘解的內(nèi)部境界.”由于正多邊形的基本特征和目標三角形與已知條件的差異性，通過兩條平行線間的距離相等轉(zhuǎn)化矛盾，從而發(fā)現(xiàn)如上所述的三角形面積與其中一個正多邊形的邊長無關，對于正七邊形、正八邊形等類似情形同樣成立(例如圖6中的△GDG1的面積可轉(zhuǎn)化為△GDC的面積=14tan540°7·a²，圖7中的△HDG1的面積可轉(zhuǎn)化為△HDC的面積=12tan67.5°·a²). 其實對數(shù)學家或好的問題解決者來說，一個問題的解決往往孕育著新問題的產(chǎn)生，正如文^[3]指出文^[1]、文^[2]中均未發(fā)現(xiàn)其中一個正方形的邊長的題設條件過剩的共性問題，剖析上面習題，是否一定要有正多邊形過強的題設條件呢，從而又引發(fā)一個節(jié)外生枝且有價值的思考，正是培養(yǎng)學生思維靈活性與深入性的好素材.

問題 能否適當減弱正多邊形這個題設條件，使得類似上述圖形位置時的目標三角形的面積與其中一個多邊形的各邊長無關?適當改變條件，求目標三角形的面積.

體會上述的解題思想和解題方法，解題的關鍵是構造平行線，利用同底等高轉(zhuǎn)化目標三角形的面積為其中一個多邊形中的某個三角形的面積，事實上對于兩個相似的多邊形如下圖所示的情形都有類似的結(jié)論. 例如：圖8，若△ABC的面積為S，△ABC∽△CDE，則∠BAC=∠DCE，所以AB∥CD，△ABD的面積=△ABC的面積=S，圖9、圖10四邊形ABCD∽EFGC，則△BDF的面積=△BDC的面積.

4 總結(jié)信息，反思教學

數(shù)學學習離不開解題學習，數(shù)學解題學習對學生鞏固知識、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進個性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義. 總結(jié)文^[1]、文^[2]、文^[3]對這一習題的處理，其中所蘊含的解題過程的擇優(yōu)性、典型習題的多變性和習題歸類的類比性是值得借鑒的. 既有問題解決的過程探究，又有結(jié)果分析的本質(zhì)揭示，充分暴露思維角度及認知觀點，使學生的思維一直處于積極、活躍的狀態(tài)，無疑鍛煉學習主體參與活動的靈活性和探究性. 但還需教師課前作進一步的創(chuàng)新“預設”，充分發(fā)掘習題中的奇珍異寶，反復孕育，精心提煉，著意滲透，顯然可引導學生對問題作出具有個性特點的表征，使學生的思維逐漸朝著靈活、精細、新穎的方面發(fā)展，把數(shù)學的思想、精神內(nèi)化為學生個體的觀念、品質(zhì)，從而促進學生有效而豐富的解題行為.

參考文獻

[1] 賴聞曉.此處花開香滿堂[J].中學數(shù)學雜志，2006，(5).

[2] 蔣柏孟.一堂節(jié)外生枝的數(shù)學課[J].中學數(shù)學教學參考，2007，(6).

[3] 羅全民.‘花開滿堂并未‘圓[J].中學數(shù)學雜志，2007，(6).

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”